Треугольные матрицы

......................................................"Даром дадено, даром давайте", - Исус Христос.

Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали или побочной диагонали, равны нулю. Очевидно, что таких матриц может быть четыре вида: две правых, верхняя и нижняя, и две левых, верхняя и нижняя.

Основные определения

Правая верхняя треугольная матрица (или правоверхнетреугольная матрица) — квадратная матрица A, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: a_i,j = 0 при i > j [1][2].

Левая нижняя треугольная матрица (или левонижнетреугольная матрица) — квадратная матрица A, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: a_i,j = 0 при i < j [1][2].

Правая нижняя треугольная матрица (или правонижнетреугольная матрица) — квадратная матрица A, у которой все элементы выше побочной диагонали равны нулю.

Левая верхняя треугольная матрица (или левоверхнетреугольная матрица) — квадратная матрица A, у которой все элементы ниже побочной диагонали равны нулю.

Главная унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица A, в которой все элементы на главной диагонали равны единице: a_j,j = 1 [3].

Побочная унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица A, в которой все элементы на побочной диагонали равны единице: a_j,j = 1 [3].

Главная диагональная матрица является одновременно и правой верхней треугольной, и левой нижней треугольной [4].

Побочная диагональная матрица является одновременно и левой верхней треугольной, и правой нижней треугольной [4].

Применение

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате[5]:

* любую матрицу A_n×n путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных
уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет
сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах[6]:

* любую квадратную матрицу A с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U: A = LU (см. LU-разложение),
причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной
из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно
потребовать, чтобы L была унитреугольной;

* любую невырожденную квадратную матрицу A можно представить в следующем виде: PA = LU, где P — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства

• Главный определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали[7] (в частности, определитель главной унитреугольной матрицы равен единице).
• Побочный определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её побочной диагонали (в частности, определитель побочной унитреугольной матрицы равен единице).
• Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
• Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
• Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
• Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений
• Элементарные преобразования матрицы
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Примечания

1. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 27.

2. Икрамов, 1991, с. 9—10.

3. Икрамов, 1991, с. 10.

4. Гантмахер, 1988, с. 27.

5. Гантмахер, 1988, с. 42—43.

6. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 76, 174—175.

7. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 30.

Литература

• Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.

Категории:

• Вычислительная математика
• Типы матриц
• Численные методы линейной алгебры

Версия 2025.10.25, испраленная и дополненная.