Дорогие друзья, сегодня у нас задача, которая требует глубокого понимания динамики в неинерциальных системах отсчёта и тонкого баланса сил. Мы имеем клин, который движется с ускорением, и шайбу, лежащую на его наклонной поверхности. Наша цель — найти минимальное ускорение клина, при котором шайба начнёт соскальзывать вверх по поверхности. Это необычно: обычно тела скользят вниз под действием тяжести, но здесь ускорение клина создаёт «инерционную силу», которая может «вытолкнуть» шайбу вверх. Задача проверяет наше умение применять законы Ньютона в ускоренной системе и правильно учитывать направление силы трения.
Итак, условие задачи:
Клин с углом наклона α = 45° движется горизонтально с ускорением a (вправо, как обычно изображают на рисунках).
На его поверхности находится шайба. Коэффициент трения между шайбой и клином: μ = 0,1.
При каком минимальном значении ускорения a шайба начнёт движение вверх по поверхности?
Какие физические закономерности вы используете? Обоснуйте их.
Шаг 1. Выбор системы отсчёта
Поскольку клин ускоряется, удобнее всего перейти в неинерциальную систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе шайба покоятся до тех пор, пока не начнёт двигаться, а чтобы применять законы Ньютона, нужно ввести силу инерции.
Физический закон:
В неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением a, на каждое тело массой m действует фиктивная сила инерции F_ин = –m·a, направленная против ускорения системы.
Мы используем этот подход, потому что в системе клина шайба либо покоится, либо начинает скользить — и мы можем применить условие равновесия сил (или его нарушения) вдоль наклонной плоскости.
Шаг 2. Силы, действующие на шайбу в системе клина
В системе, связанной с клином, на шайбу действуют:
- Сила тяжести: mg, вертикально вниз.
- Сила инерции: F_ин = m·a, горизонтально влево (так как клин ускоряется вправо).
- Сила нормальной реакции: N, перпендикулярно поверхности клина.
- Сила трения покоя: Fтр, направленная вниз по наклону (против возможного движения вверх).
Почему трение направлено вниз?
Потому что при достаточно большом ускорении клина сила инерции «выталкивает» шайбу вверх по клину. Сила трения препятствует этому, поэтому направлена вниз по наклону.
Шаг 3. Разложение сил на компоненты вдоль и перпендикулярно клину
Выберем оси:
- Ось X — вдоль поверхности клина вверх;
- Ось Y — перпендикулярно поверхности от клина.
Разложим mg и F_ин = m·a на эти оси.
Сила тяжести:
- Вдоль X (вниз по клину): mg·sinα
- Вдоль Y (внутрь клина): mg·cosα
Сила инерции (горизонтально влево):
Угол между горизонталью и поверхностью клина — α = 45°.
- Проекция F_ин на ось X (вверх по клину): m·a·cosα
- Проекция F_ин на ось Y (внутрь клина): m·a·sinα
(Пояснение: если представить горизонтальный вектор влево, его компонента, «вдавливающая» шайбу в клин, — это m·a·sinα, а компонента, толкающая вверх по склону, — m·a·cosα.)
Шаг 4. Уравнения равновесия (предельный случай)
Шайба начинает двигаться вверх, когда сила, толкающая её вверх, превышает сумму сил, удерживающих её (тяжести и трения).
В предельном случае (ещё не движется, но вот-вот начнёт):
Сумма сил вдоль X = 0
→ m·a·cosα – mg·sinα – Fтр = 0
Сила трения покоя достигает максимума:
Fтр = μ·N
Найдём N из уравнения по оси Y (ускорения по Y нет):
N – mg·cosα – m·a·sinα = 0 → N = m(g·cosα + a·sinα)
Подставим в уравнение по X:
m·a·cosα – m·g·sinα – μ·m(g·cosα + a·sinα) = 0
Сократим m ≠ 0:
a·cosα – g·sinα – μ·g·cosα – μ·a·sinα = 0
Сгруппируем члены с a и без:
a·(cosα – μ·sinα) = g·(sinα + μ·cosα)
Отсюда:
a = g · (sinα + μ·cosα) / (cosα – μ·sinα)
Шаг 5. Подставим численные значения
Дано:
- α = 45° → sinα = cosα = √2/2 ≈ 0.7071
- μ = 0.1
- g = 9.8 м/с²
Числитель:
sinα + μ·cosα = 0.7071 + 0.1·0.7071 = 0.7071·(1 + 0.1) = 0.7071·1.1 ≈ 0.7778
Знаменатель:
cosα – μ·sinα = 0.7071 – 0.1·0.7071 = 0.7071·(1 – 0.1) = 0.7071·0.9 ≈ 0.6364
Тогда:
a = 9.8 · (0.7778 / 0.6364) ≈ 9.8 · 1.222 ≈ 11.98 м/с²
Округлим: a ≈ 12 м/с²
Шаг 6. Физические закономерности и их обоснование
- Законы Ньютона в неинерциальной системе:
Использовано введение силы инерции для применения условия равновесия в системе клина. Это корректно, так как позволяет свести задачу к статике. - Закон Амонтона–Кулона для трения покоя:
Максимальная сила трения пропорциональна нормальной реакции: Fтр ≤ μ·N. В предельном случае равенство достигается. - Разложение векторов на компоненты:
Необходимо для анализа сил вдоль и поперёк наклонной плоскости — стандартный приём в динамике.
Ответ:
Минимальное ускорение клина, при котором шайба начнёт двигаться вверх по поверхности, составляет приблизительно 12 м/с².
Эта задача показывает, как ускорение системы может имитировать изменение гравитации. В ускоряющемся клине шайба «чувствует» комбинированное поле — от земной тяжести и от инерции. При достаточно большом ускорении «эффективная гравитация» наклоняется так, что «вниз» оказывается уже не вдоль клина, а под другим углом — и тело начинает скользить вверх относительно поверхности.
Представьте, что вы стоите на эскалаторе, который вдруг резко ускоряется вперёд. Вы инстинктивно хватаетесь за поручень, чтобы не упасть назад — но если бы вы стояли на наклонной доске, прикреплённой к тележке, то при резком старте могли бы даже покатиться вверх! Вот так и шайба: пока клин «спит» — она лежит спокойно. Но стоит клину «взбодриться» и рвануть вперёд — шайба решает: «Раз уж всё движется, пойду-ка я наверх!» Главное — не переборщить с ускорением, иначе шайба улетит в потолок… а вы — в список авторов новых физических парадоксов!