Дорогие друзья, сегодня у нас на очереди одна из тех задач, что заставляют задуматься даже бывалых физиков. Мы имеем дело с телом, брошенным под углом к горизонту, — классика кинематики! Но вместо привычных данных (начальная скорость, высота, дальность), нам дают информацию об изменении направления вектора скорости через определённое время. Это требует не просто подстановки в формулы, а настоящего понимания того, как ведут себя горизонтальная и вертикальная составляющие скорости в полёте.
Итак, условие задачи:
Тело брошено с земли под углом 60° к горизонту. Через 4 секунды скорость тела оказалась направленной под углом 30° к горизонту вниз. Найти время полёта тела.
Наша цель — найти полное время полёта от броска до падения на землю.
Решим задачу шаг за шагом, с подробными пояснениями и без пропусков.
Шаг 1. Запишем, что известно, и введём обозначения
Обозначим:
- α = 60° — угол броска (над горизонтом);
- β = 30° — угол, под которым направлена скорость через t₁ = 4 с (под горизонтом, то есть вниз);
- v₀ — неизвестная начальная скорость (мы, возможно, не найдём её численно, но она нам понадобится как параметр);
- g = 9.8 м/с² — ускорение свободного падения (округлять не будем, чтобы сохранить точность; в конце можно будет использовать 10 м/с², если потребуется, но здесь это не нужно);
- T — искомое полное время полёта.
Важно помнить: при движении тела, брошенного под углом к горизонту без сопротивления воздуха:
- Горизонтальная проекция скорости постоянна: vₓ = v₀·cosα;
- Вертикальная проекция скорости меняется линейно: v_y(t) = v₀·sinα – g·t.
Шаг 2. Выразим направление скорости через её проекции
Направление вектора скорости в любой момент определяется тангенсом угла между вектором и горизонталью:
- При броске (t = 0):
tg(α) = v_y(0) / vₓ = (v₀·sinα) / (v₀·cosα) = tgα — всё логично. - Через t₁ = 4 с: скорость направлена вниз под углом 30°, значит, её вертикальная проекция отрицательна, а тангенс угла (по модулю) равен:|v_y(t₁)| / vₓ = tg(30°)Но так как v_y(t₁) < 0, запишем:v_y(t₁) = – vₓ · tg(30°)
Теперь подставим выражения для проекций:
- vₓ = v₀·cos(60°)
- v_y(t₁) = v₀·sin(60°) – g·t₁
И уравнение из условия:
v₀·sin(60°) – g·t₁ = – v₀·cos(60°) · tg(30°)
Шаг 3. Подставим численные значения тригонометрических функций
Вспомним:
- sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.866
- cos(60°) = 1 / 2 = 0.5
- tg(30°) = 1 / √3 ≈ 0.577
Подставим:
v₀·(√3 / 2) – g·4 = – v₀·(1/2) · (1 / √3)
Упростим правую часть:
– v₀·(1/2)·(1/√3) = – v₀ / (2√3)
Теперь уравнение:
v₀·(√3 / 2) + v₀ / (2√3) = 4g
Вынесем v₀ / 2:
v₀ / 2 · (√3 + 1/√3) = 4g
Приведём скобку к общему знаменателю:
√3 + 1/√3 = (3 + 1) / √3 = 4 / √3
Тогда:
v₀ / 2 · (4 / √3) = 4g
Упростим:
(v₀ · 4) / (2√3) = 4g → (2v₀) / √3 = 4g
Разделим обе части на 2:
v₀ / √3 = 2g → v₀ = 2g√3
Отлично! Мы выразили начальную скорость через g.
Шаг 4. Найдём полное время полёта
Для тела, брошенного с земли и упавшего обратно на землю, полное время полёта определяется только вертикальной составляющей движения:
T = (2·v₀·sinα) / g
Подставим v₀ = 2g√3 и sin(60°) = √3 / 2:
T = (2 · (2g√3) · (√3 / 2)) / g
Упростим по шагам:
- Числитель: 2 · 2g√3 · √3 / 2 = (4g√3 · √3) / 2 = (4g · 3) / 2 = 12g / 2 = 6g
- Знаменатель: g
Итак:
T = 6g / g = 6 с
Шаг 5. Проверка результата
Через 4 с тело уже движется вниз под углом 30°. Полное время полёта — 6 с, значит, оно ещё 2 секунды будет падать. Это логично: максимум высоты достигается в середине полёта — при T/2 = 3 с. То есть:
- В t = 3 с — верхняя точка (v_y = 0);
- В t = 4 с — уже падает (v_y < 0), угол 30° вниз — разумно;
- В t = 6 с — ударяется о землю.
Всё согласуется!
Ответ:
Полное время полёта тела: T = 6 секунд.
Физика — это наука о связях. Здесь мы не знали начальную скорость, но смогли найти время полёта, используя связь между направлением скорости и её компонентами. Это напоминает детектив: у нас есть «показания свидетеля» (угол скорости через 4 с), и мы восстанавливаем всю картину происшествия — от броска до падения. Такие задачи учат не просто считать, а думать векторно, видеть, как разные части движения взаимодействуют.
Представьте, что вы запускаете бумажный самолётик с балкона. Сначала он летит вверх и вперёд с энтузиазмом (60° — это почти в небо!), но через несколько секунд начинает клевать носом. Вы замечаете: «О, сейчас он летит под таким углом, будто уже сдаётся!» И действительно — ещё через пару мгновений он шлёпается на асфальт. Вот и наше тело: начало с амбициями, но гравитация неумолима. Главное — успеть оценить его «настроение» по углу наклона, пока оно ещё в воздухе!