Дорогие друзья, сегодня у нас задача, которая раскрывает одну из самых красивых закономерностей в кинематике — как растёт путь при свободном падении с течением времени. Мы часто слышим, что «тело падает всё быстрее и быстрее», но насколько именно больше оно проходит за каждую последующую секунду, по сравнению с предыдущей? Эта задача не просто требует подстановки в формулы — она показывает арифметическую прогрессию в физике, и её решение удивительно элегантно.
Итак, условие задачи:
На сколько путь, пройденный свободно падающим телом в n-ю секунду, больше пути, пройденного в предыдущую (n–1)-ю секунду?
Обратите внимание: речь идёт не о полном пути за n секунд, а о пути, пройденном именно в течение n-й секунды — то есть за промежуток времени от t = (n–1) с до t = n с.
Решим задачу пошагово.
Шаг 1. Вспомним формулу для пути при свободном падении
При свободном падении (без начальной скорости, без сопротивления воздуха) путь, пройденный за время t, равен:
s(t) = (g·t²) / 2
где:
- g — ускорение свободного падения,
- t — время в секундах.
Шаг 2. Найдём путь, пройденный в n-ю секунду
Путь за n-ю секунду — это разность между путём за n секунд и путём за (n–1) секунд:
Δsₙ = s(n) – s(n–1) = (g·n²)/2 – (g·(n–1)²)/2
Вынесем общий множитель:
Δsₙ = (g/2) · [n² – (n–1)²]
Раскроем квадрат:
(n–1)² = n² – 2n + 1
Тогда:
n² – (n² – 2n + 1) = 2n – 1
Следовательно:
Δsₙ = (g/2) · (2n – 1) = g·(n – 0.5)
Шаг 3. Найдём путь за (n–1)-ю секунду
Аналогично:
Δsₙ₋₁ = s(n–1) – s(n–2) = (g/2) · [(n–1)² – (n–2)²]
Вычислим разность квадратов:
(n–1)² – (n–2)² = (n² – 2n + 1) – (n² – 4n + 4) = 2n – 3
Тогда:
Δsₙ₋₁ = (g/2) · (2n – 3) = g·(n – 1.5)
Шаг 4. Найдём разность путей: на сколько больше в n-ю секунду?
Δ = Δsₙ – Δsₙ₋₁ = g·(n – 0.5) – g·(n – 1.5) = g·[(n – 0.5) – (n – 1.5)] = g·(1)
→ Δ = g
То есть разность путей, пройденных в последовательные секунды, равна ускорению свободного падения!
Поскольку g ≈ 9.8 м/с², то:
Путь, пройденный в n-ю секунду, больше пути за (n–1)-ю секунду на 9.8 метров.
(Если использовать приближение g = 10 м/с², то разность — 10 м.)
Шаг 5. Проверка на примере
Проверим для первых секунд:
- За 1-ю секунду: s₁ = (g·1²)/2 = g/2 ≈ 4.9 м
- За 2-ю секунду: s(2) = (g·4)/2 = 2g ≈ 19.6 м, значит, путь во 2-ю секунду: 19.6 – 4.9 = 14.7 м
- Разность: 14.7 – 4.9 = 9.8 м — верно!
- За 3-ю секунду: s(3) = (g·9)/2 = 4.5g ≈ 44.1 м, путь за 3-ю секунду: 44.1 – 19.6 = 24.5 м
- Разность с предыдущей: 24.5 – 14.7 = 9.8 м — снова верно!
Закономерность подтверждается.
Ответ:
Путь, пройденный свободно падающим телом в n-ю секунду, больше пути, пройденного в предыдущую секунду, на величину, равную ускорению свободного падения: на g ≈ 9.8 м.
Эта задача демонстрирует глубокую связь между ускорением и приростом пути за равные промежутки времени. При постоянном ускорении разность путей за последовательные секунды постоянна и равна g. Это следствие того, что скорость растёт линейно, а путь — квадратично. Такая закономерность — основа для понимания равноускоренного движения и даже для исторических экспериментов Галилея.
Представьте, что вы каждый день откладываете деньги, но не просто фиксированную сумму, а всё больше и больше: в первый день — 5 рублей, во второй — 15, в третий — 25… Разница между днями всегда 10 рублей. Вот так и падающее тело: оно «откладывает» метры, и каждый новый «день» (секунда) приносит на g метров больше, чем предыдущий. Только вот вместо копилки — земля, и вместо радости — удар! Поэтому, если вы уронили телефон, знайте: за последнюю секунду он пролетел на 9.8 метров больше, чем за предпоследнюю… и это, увы, уже не починить.