Ящик массой m = 100 кг тянут за верёвку, направленную под углом α = 80° к горизонту, по горизонтальному полу. Коэффициент трения между ящиком и полом: µ = 0,5. Нужно передвинуть ящик на расстояние S = 100 м по прямой. Требуется найти наименьшую работу, которую нужно совершить для этого.
Важно: «наименьшая работа» означает, что ящик движется равномерно (без ускорения), потому что любое ускорение потребовало бы дополнительной энергии, увеличивая работу. Минимум достигается при равномерном движении, когда сила тяги уравновешивает силу трения.
Шаг 1. Проанализируем силы, действующие на ящик
На ящик действуют:
- Сила тяжести: F_g = m·g, направлена вниз
- Нормальная реакция пола: N, направлена вверх
- Сила трения скольжения: F_тр = µ·N, направлена против движения
- Сила тяги через верёвку: F, направленная под углом α = 80° к горизонту
Разложим силу F на компоненты:
- Горизонтальная: Fₓ = F·cosα — тянет ящик вперёд
- Вертикальная: Fᵧ = F·sinα — направлена вверх, частично «приподнимает» ящик, уменьшая нормальную реакцию
Шаг 2. Найдём нормальную реакцию N
Вертикальные силы уравновешены (ящик не отрывается от пола и не проваливается):
N + F·sinα = m·g → N = m·g – F·sinα
Обратите внимание: чем больше угол α (ближе к вертикали), тем больше вертикальная компонента, и тем меньше нормальная сила, а значит — меньше трение. Однако при этом горизонтальная компонента (которая и тянет ящик) становится очень маленькой. Поэтому существует оптимальный угол, при котором работа минимальна. Но в этой задаче угол задан (80°), и мы просто вычисляем работу при этом угле, предполагая равномерное движение.
Шаг 3. Условие равномерного движения (равновесие по горизонтали)
Горизонтальные силы:
F·cosα = F_тр = µ·N = µ·(m·g – F·sinα)
Решим это уравнение относительно F:
F·cosα = µ·m·g – µ·F·sinα
Перенесём члены с F влево:
F·cosα + µ·F·sinα = µ·m·g
Вынесем F:
F·(cosα + µ·sinα) = µ·m·g
Отсюда:
F = (µ·m·g) / (cosα + µ·sinα)
Шаг 4. Найдём работу силы тяги
Работа силы F на пути S равна:
A = Fₓ · S = (F·cosα) · S
Подставим выражение для F:
A = [ (µ·m·g) / (cosα + µ·sinα) ] · cosα · S
Или:
A = (µ·m·g·S·cosα) / (cosα + µ·sinα)
Теперь подставим численные значения.
Шаг 5. Подставим числа
Дано:
- m = 100 кг
- g = 9,8 м/с²
- µ = 0,5
- α = 80°
- S = 100 м
Найдём тригонометрические функции:
- cos80° ≈ 0,17365
- sin80° ≈ 0,98481
Вычислим знаменатель:
cosα + µ·sinα = 0,17365 + 0,5·0,98481 = 0,17365 + 0,492405 ≈ 0,666055
Числитель:
µ·m·g·S·cosα = 0,5 · 100 · 9,8 · 100 · 0,17365
Вычислим по частям:
- 0,5 · 100 = 50
- 50 · 9,8 = 490
- 490 · 100 = 49 000
- 49 000 · 0,17365 ≈ 8 508,85
Теперь делим:
A ≈ 8 508,85 / 0,666055 ≈ 12 775 Дж
Округлим до разумной точности: A ≈ 12,8 кДж
Шаг 6. Проверка: а что если тянуть горизонтально?
Для сравнения: если бы α = 0°, то:
A₀ = µ·m·g·S = 0,5 · 100 · 9,8 · 100 = 49 000 Дж
То есть при α = 80° работа в 4 раза меньше! Это кажется странным, но объясняется тем, что вертикальная компонента сильно уменьшает нормальную силу и, следовательно, трение.
Однако при α → 90°, cosα → 0, и горизонтальная сила стремится к нулю — ящик вообще не сдвинется. Значит, есть оптимальный угол, при котором работа минимальна. Для µ = 0,5 он около 26,6°, но в нашей задаче угол фиксирован как 80°, и мы просто считаем работу при этом условии.
Но подождём: при α = 80°, действительно ли ящик можно сдвинуть?
Проверим, достаточно ли горизонтальной силы:
F = (µ·m·g) / (cosα + µ·sinα) ≈ (0,5·100·9,8) / 0,666 ≈ 490 / 0,666 ≈ 736 Н
Горизонтальная компонента: Fₓ = F·cosα ≈ 736 · 0,17365 ≈ 128 Н
Сила трения: F_тр = µ·N = 0,5·(m·g – F·sinα) = 0,5·(980 – 736·0,9848) ≈ 0,5·(980 – 725) ≈ 0,5·255 ≈ 127,5 Н
Совпадает — движение возможно.
Ответ:
Наименьшая работа, необходимая для перемещения ящика на 100 м, составляет примерно 12,8 кДж
(Более точно: ≈12 800 Дж)
Работа против силы трения — повседневная реальность: от выдвижения ящиков до буксировки автомобилей. А теперь представьте: вы тянете тяжелый чемодан почти вертикально вверх, надеясь, что он «станет легче». И правда — трение уменьшается! Но чем ближе верёвка к вертикали, тем меньше вы тащите его вперёд. Физика напоминает: иногда лучше тянуть не «как удобнее», а «как эффективнее» — иначе можно устать, даже не сдвинувшись с места!