Материальная точка массой m движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиусом R. Требуется найти изменение импульса точки за четверть периода движения.
Шаг 1. Вспомним, что такое импульс
Импульс тела — это векторная величина:
p = m·v
где:
- m — масса (скаляр, постоянна)
- v — вектор скорости (меняется по направлению при круговом движении)
Хотя модуль скорости при равномерном движении по окружности постоянен, направление скорости непрерывно меняется. Поэтому импульс как вектор тоже меняется, даже если его модуль неизменен.
Изменение импульса за некоторый промежуток времени:
Δp = p₂ – p₁
где:
- p₁ — импульс в начальный момент
- p₂ — импульс через четверть периода
Это векторная разность, а не разность модулей!
Шаг 2. Найдём модуль скорости
При движении по окружности с угловой скоростью ω линейная скорость:
v = ω·R
Модуль скорости постоянен: |v| = ωR
Следовательно, модуль импульса:
p = m·ω·R
Шаг 3. Выберем удобную систему координат
Пусть в начальный момент (t = 0) точка находится в положении (R, 0) — на оси X.
При равномерном движении против часовой стрелки (стандартное направление), вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
- В точке (R, 0) (угол 0) касательная направлена вверх, то есть вдоль оси Y.
→ v₁ = (0, v) → p₁ = (0, m·v)
Через четверть периода точка окажется в положении (0, R) — на оси Y.
- В этой точке касательная направлена влево, то есть вдоль отрицательной оси X.
→ v₂ = (–v, 0) → p₂ = (–m·v, 0)
(Если выбрать другое начальное положение — результат по модулю будет тот же, так как поворот на 90° всегда даёт перпендикулярные векторы.)
Шаг 4. Найдём вектор изменения импульса
Δp = p₂ – p₁ = (–m·v, 0) – (0, m·v) = (–m·v, –m·v)
Теперь найдём модуль этого вектора:
|Δp| = √[ (–m·v)² + (–m·v)² ] = √[ m²v² + m²v² ] = √[2·m²v²] = m·v·√2
Подставим v = ω·R:
|Δp| = m·ω·R·√2
Шаг 5. Проверим через геометрию (альтернативный способ)
Векторы p₁ и p₂ имеют одинаковую длину p = m·ω·R и направлены перпендикулярно друг другу (угол между ними = 90°).
Изменение импульса — это третья сторона треугольника, построенного на векторах p₁ и p₂ (по правилу вычитания: Δp = p₂ – p₁).
Модуль разности двух перпендикулярных векторов одинаковой длины:
|Δp| = p·√2 = m·ω·R·√2
То же самое.
Ответ:
Изменение импульса точки за четверть периода равно по модулю:
|Δp| = m·ω·R·√2
Направление вектора Δp — по диагонали вниз-влево (в выбранной системе координат), но в задаче обычно требуется модуль, так как направление зависит от выбора начального положения.
Изменение импульса — ключ к пониманию силы: ведь второй закон Ньютона в импульсной форме гласит: F = Δp / Δt. Даже при постоянной по модулю скорости тело испытывает силу — центростремительную! А теперь представьте: вы кружитесь на офисном кресле с гантелью в руке. Хотя вы не ускоряетесь вперёд, ваши мышцы всё равно работают — потому что импульс гантели постоянно меняет направление. Физика напоминает: даже «постоянное» движение может быть полным перемен!