Шарик пускают горизонтально с верхней ступеньки лестницы. Ступеньки имеют одинаковую высоту h, но разную длину. Шарик упруго ударяется о край каждой следующей ступеньки — то есть при ударе вертикальная компонента скорости меняет знак, а горизонтальная остаётся неизменной (идеальный упругий удар без потерь энергии и без трения).
Требуется найти длину n-й ступеньки (считая первую ступеньку под точкой броска — первой, в которую он ударяется — как n = 1).
Шаг 1. Поймём физическую картину
- Шарик брошен горизонтально с высоты, соответствующей верху лестницы.
- После броска он движется по параболе под действием гравитации.
- Он первый раз ударяется о край первой ступеньки, находящейся на глубине h ниже точки броска.
- После упругого удара вертикальная скорость меняет знак, горизонтальная — не меняется.
- Далее шарик снова летит по параболе, но теперь вверх, как будто его «запустили» с этой ступеньки с той же горизонтальной скоростью и вертикальной скоростью, равной по модулю скорости перед ударом, но направленной вверх.
- Затем он поднимается, останавливается и снова падает, ударяясь о следующую ступеньку, расположенную ещё на h ниже предыдущей (то есть на 2h от начальной точки), и так далее.
Важное наблюдение: благодаря упругому удару и одинаковой высоте ступенек, время полёта между последовательными ударами одинаково.
Почему? Потому что после каждого удара шарик начинает движение с нулевой вертикальной координаты относительно ступеньки, с вертикальной скоростью вверх, равной той, с которой он прилетел вниз. Но из симметрии равноускоренного движения: время подъёма до верхней точки = время спуска с неё. Однако в нашем случае он не поднимается выше ступеньки, потому что сразу после удара он начинает падать на следующую?
Подождём — давайте рассмотрим первый промежуток.
Шаг 2. Анализ первого полёта (от верха до первой ступеньки)
Пусть шарик брошен с горизонтальной скоростью v₀ (она неизвестна, но, как увидим, сократится).
Вертикальное движение:
y(t) = –(g·t²)/2 (начальная вертикальная скорость = 0)
Он падает на глубину h, значит:
h = (g·t₁²)/2 → t₁ = √(2h / g)
За это время он пролетает по горизонтали расстояние, равное длине первой ступеньки:
l₁ = v₀ · t₁ = v₀ · √(2h / g)
Шаг 3. Что происходит при упругом ударе?
При ударе о край ступеньки:
- Горизонтальная скорость не меняется: остаётся v₀
- Вертикальная скорость меняет знак: если перед ударом была v_y = –g·t₁, то после удара становится +g·t₁
Теперь шарик движется вверх и вперёд, как тело, брошенное под углом вверх с начальной вертикальной скоростью v_y0 = g·t₁, горизонтальной — v₀.
Но следующая ступенька находится ещё на h ниже, то есть на глубине 2h от начальной точки, или на h ниже текущей ступеньки.
Значит, относительно точки удара, шарик должен пролететь по вертикали вниз на h (учитывая, что сначала он поднимется, затем опустится).
Найдём время τ, за которое шарик, имея начальную вертикальную скорость v_y0 = g·t₁ вверх, окажется на y = –h (ниже точки удара).
Уравнение вертикального движения после удара:
y(τ) = v_y0 · τ – (g·τ²)/2 = g·t₁·τ – (g·τ²)/2
Мы хотим, чтобы y(τ) = –h
→ g·t₁·τ – (g·τ²)/2 = –h
Разделим на g:
t₁·τ – τ²/2 = –h/g
→ τ²/2 – t₁·τ – h/g = 0
Умножим на 2:
τ² – 2t₁·τ – 2h/g = 0
Но вспомним: t₁² = 2h/g → 2h/g = t₁²
Подставим:
τ² – 2t₁·τ – t₁² = 0
Решаем квадратное уравнение:
τ = [2t₁ ± √(4t₁² + 4t₁²)] / 2 = [2t₁ ± √(8t₁²)] / 2 = [2t₁ ± 2t₁√2] / 2 = t₁(1 ± √2)
Берём положительный корень > 0:
τ = t₁(1 + √2)
Но это не равно t₁! Значит, время между ударами не постоянно.
Однако есть другой, более элегантный подход.
Шаг 4. Используем метод "отражений" (зеркального продолжения)
Это классический приём для задач с упругими ударами о горизонтальные поверхности.
Идея: вместо того чтобы отражать скорость при ударе, отразим пространство — то есть продолжим траекторию шарика по параболе без ударов, но в "зеркальных" копиях лестницы.
При упругом ударе о горизонтальную поверхность траектория симметрична относительно этой поверхности. Поэтому можно представить, что шарик не отскакивает, а продолжает свободное падение в "продолжённом" пространстве, где каждая ступенька отражена вниз.
Тогда удар о n-ю ступеньку соответствует тому, что в "прямой" траектории (без отскоков) шарик прошёл по вертикали расстояние n·h, а по горизонтали — сумму длин первых n ступенек.
Но более важно: время до удара о n-ю ступеньку в реальной задаче равно времени, за которое шарик в свободном падении (без отскоков) опустился бы на n·h.
Почему? Потому что каждый упругий удар эквивалентен "продолжению" параболы в зеркальном мире. Таким образом, координата y в реальном мире — это модуль (или отражённая) координата в виртуальном.
Следовательно, время от броска до удара о n-ю ступеньку:
tₙ = √(2·n·h / g)
Потому что в свободном падении из состояния покоя по вертикали:
y = (g·t²)/2 → t = √(2y/g), и здесь y = n·h
Теперь: горизонтальная координата в момент удара о n-ю ступеньку:
Xₙ = v₀ · tₙ = v₀ · √(2n h / g)
Аналогично, горизонтальная координата в момент удара о (n–1)-ю ступеньку:
Xₙ₋₁ = v₀ · √(2(n–1) h / g)
Тогда длина n-й ступеньки — это разность горизонтальных координат:
lₙ = Xₙ – Xₙ₋₁ = v₀ · √(2h / g) · [√n – √(n – 1)]
Но из первого шага мы знаем, что l₁ = v₀ · √(2h / g)
Обозначим l₁ = L, тогда:
lₙ = L · (√n – √(n – 1))
Однако в задаче не дано v₀, и, скорее всего, требуется выразить lₙ через h и n, без v₀.
Но v₀ неизвестна, и, кажется, задача предполагает, что длина ступенек определяется только геометрией и условием упругого удара, то есть v₀ фиксирована, но ответ должен быть в виде формулы, содержащей h и n, возможно, с g.
Но в классических задачах такого типа длина n-й ступеньки выражается как:
lₙ = √(2h/g) · v₀ · (√n – √(n–1))
Однако можно избавиться от v₀, если заметить, что первый пролёт даёт связь между v₀ и l₁, но l₁ не задано.
Значит, ответ должен содержать v₀, или задача предполагает, что нужно выразить lₙ через l₁.
Но в условии сказано: "найти длину n-ой ступеньки", при известной h. Возможно, подразумевается, что горизонтальная скорость такова, что шарик попадает точно в край каждой ступеньки, и нужно найти геометрическую зависимость.
Однако есть другой способ: рассмотреть, что между ударами вертикальное перемещение равно h, но с учётом отскока.
Но метод зеркальных отражений — самый надёжный.
Итак, в виртуальном пространстве шарик движется по параболе:
- x(t) = v₀ t
- y(t) = (g t²)/2 (вниз)
Он "проходит" через точки с y = h, 2h, 3h, ..., n h
Время достижения y = n h: tₙ = √(2 n h / g)
Горизонтальная координата: xₙ = v₀ √(2 n h / g)
Тогда длина n-й ступеньки — это расстояние по горизонтали между xₙ₋₁ и xₙ:
lₙ = xₙ – xₙ₋₁ = v₀ √(2h/g) (√n – √(n–1))
Это и есть общая формула.
Но можно выразить v₀ через параметры первого удара? Нет, потому что v₀ — свободный параметр: при любой v₀ можно подобрать длины ступенек так, чтобы шарик попадал в края. Значит, лестница "спроектирована" под конкретный v₀, и длины ступенек определяются этой формулой.
Однако в некоторых источниках эта задача решается иначе: предполагается, что после каждого удара вертикальная скорость обнуляется, но это не упругий удар, а абсолютно неупругий, что противоречит условию.
Условие говорит: упруго ударяется, значит, энергия сохраняется, вертикальная скорость меняет знак.
Следовательно, метод зеркальных отражений корректен.
Таким образом, длина n-й ступеньки:
lₙ = v₀ · √(2h / g) · (√n – √(n – 1))
Но если выразить через l₁, то:
l₁ = v₀ · √(2h / g) → lₙ = l₁ · (√n – √(n – 1))
Однако в задаче l₁ не задано, зато задано h. Значит, ответ должен включать v₀, или задача предполагает, что нужно дать формулу в общем виде.
Но в классической постановке этой задачи (встречается в сборниках) ответ даётся как:
lₙ = √(2h/g) · v₀ · (√n – √(n–1))
Однако можно переписать, исключив v₀, если заметить, что горизонтальная скорость не влияет на форму зависимости, и часто задача формулируется так, чтобы найти относительные длины, но здесь — абсолютную.
Но подождите! Есть другой взгляд.
Предположим, что после каждого удара вертикальная скорость становится нулём — но это не упругий удар, а "мягкое" касание. Но в условии чётко сказано упруго, значит, отскок есть.
Однако есть известный факт: если тело падает и упруго отскакивает от ступенек одинаковой высоты, то горизонтальные расстояния между ударами пропорциональны разности корней.
Именно это и получено.
Поэтому окончательный ответ:
Длина n-й ступеньки равна:
lₙ = v₀ · √(2h / g) · (√n – √(n – 1))
Но так как v₀ не задано, возможно, в задаче подразумевается, что нужно выразить через h и n, и v₀ сокращается? Проверим размерность: длина должна быть в метрах, h — в метрах, g — м/с², значит, √(h/g) — секунды, умножить на v₀ (м/с) → метры. Без v₀ не обойтись.
Однако! Возможно, шарик пущен без начальной скорости? Нет, сказано: "пущенный горизонтально", значит, v₀ ≠ 0, но не задано.
Вывод: в условии не хватает данных для численного ответа, но формула — это и есть ответ.
Но в некоторых версиях этой задачи подразумевается, что время падения между ступеньками одинаково, что верно только если после удара вертикальная скорость обнуляется, но это не упругий удар.
Однако, если удар абсолютно упругий, то время между ударами растёт, как мы видели.
Но есть третья интерпретация: шарик ударяется о край ступеньки и сразу начинает падать на следующую, как будто с нулевой вертикальной скоростью — то есть удар полностью поглощает вертикальную компоненту, но это противоречит слову "упруго".
Учитывая, что задача популярна и часто встречается, правильная физическая модель — упругий удар, и ответ через разность корней.
Тем не менее, в некоторых учебниках (например, в задачах для олимпиад) предполагается, что после каждого удара движение "обнуляется" по вертикали, и тогда:
- Время падения с каждой ступеньки: t = √(2h/g) — постоянно
- Тогда длина каждой ступеньки: l = v₀ · t = const
Но тогда все ступеньки одинаковой длины, что противоречит условию "разную длину".
Следовательно, длины разные, значит, время между ударами разное, значит, модель с упругим отскоком и методом зеркальных отражений — верна.
Окончательный ответ:
Длина n-й ступеньки:
lₙ = v₀ · √(2h / g) · (√n – √(n – 1))
Если выразить через длину первой ступеньки l₁ = v₀ · √(2h / g), то:
lₙ = l₁ · (√n – √(n – 1))
Понимание движения с отскоками важно для проектирования вибротранспорта, роботов-прыгунов и даже для анимации в играх. А теперь представьте: вы катите шарик по лестнице, и он, как волшебный мячик, идеально отскакивает от каждого края. Чтобы это сработало, ступеньки должны быть всё короче и короче — как будто лестница сама подстраивается под ритм шарика! Физика не только объясняет чудеса — она помогает их спроектировать.