Всем привет! На данную тему уже есть очень много постов на тему бесконечностей. Цель конкретно этого поста - структурировать все эти знания в один пост
Базовые понятия
Множества
Начнём с самого очевидного понятия - множества. Множество — это совокупность объектов, которые называются элементами множества.
Например 5 котов, 3 собаки, 0 машин
Записываются множества так:
A = {1, 2, 3}
B = {0, -21.3}
C = ∅
В данном примере, в множестве A - элементы 1, 2 и 3. В множестве B - элементы 0 и -21.3, а множество C - пустое, в нем нет элементов
Биекция
Биекция — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества сопоставлен ровно один элемент другого, и наоборот. Биекция между двумя множествами = элементы одного множества можно "равномерно" сопоставить с элементами другого. Как в примере на картинке
Мощность множества
Мощность - "размер" множества. Множества называются равномощными, когда между ними есть биекция.
Для конечных множеств понятие мощности совпадает с количеством элементов, но для бесконечных — нет
Сами бесконечности
Вообще тема бесконечностей в математике достаточно философская. Важно понимать. В математике нет числа или переменной "бесконечность". Для объяснения бесконечностей используются как раз-таки множества
Счетное множество
Счётное множество — это множество, элементы которого можно занумеровать натуральными числами (Все целые числа, больше 0)
Чтобы яснее понять, как это работает, давайте попробуем решить задачу:
Каких чисел больше: Натуральных или натуральных чётных
На первый взгляд кажется, что чётных ровно в 2 раза меньше
Но на самом деле, ответ немного другой. Натуральных и чётных одинаковое количество. Почему? Потому что между множеством натуральных чисел и натуральных чётных можно провести биекцию
f(n) = 2n;
1 = 2
2 = 4
3 = 6
4 = 8
...
Каждому натуральному числу n соответствует чётное число 2n. Это функция, которая устанавливает взаимно-однозначное соответствие; значит множества равномощны
Натуральные vs целые
Принцип тот же что и в первой задаче. Чтобы доказать что множества равны/не равны, мы должны доказать что между множествами есть/нет биекции. Как видно из первого примера, нам нужно упорядочить все элементы в 1 ряд, чтобы получить биекцию с натуральными числами. Вот например как это можно сделать:
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3...
🠕 🠕 🠕 🠕 🠕 🠕 🠕
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
Мы построили упорядочивание, при котором каждому целому соответствует одно натуральное. Значит, множество целых тоже счётное
Аналогичный трюк работает и для рациональных чисел — их тоже можно занумеровать, значит, множество рациональных чисел счётное. Возникает вопрос: если даже рациональные числа можно сосчитать, неужели все множества счётные? Нет. Существуют множества, элементы которых нельзя занумеровать никаким образом. Такие множества называются несчётными.
Несчётные множества
Несчётное множество — это такое множество, элементы которого невозможно занумеровать натуральными числами. Сколько бы мы ни пытались построить биекцию, всегда останутся элементы, которым не хватит пары.
Главный пример — множество всех вещественных чисел. Между натуральными и вещественными числами нельзя установить биекцию: вещественных больше. Это доказывается с помощью диагонального аргумента Кантора — метода, который показывает, что для любого перечисления вещественных чисел можно придумать новое число, не попавшее в список.
Из этого следует, что существуют разные виды бесконечности:
- счётная (например, множество натуральных, целых или рациональных чисел);
- несчётная (например, множество вещественных чисел).
Так математика впервые показала, что даже бесконечность может быть разной величины.
Диагональный метод Кантора
Это классическое доказательство того, что множество вещественных чисел несчётно. Допустим, что кто-то утверждает обратное - будто все вещественные числа даже только между 0 и 1 можно перечислить в столбик:
1 → 0.12345...
2 → 0.98765...
3 → 0.50000...
4 → 0.31415...
...
Теперь Кантор предлагает построить новое число, которого точно нет в этом списке. Для этого он берёт первую цифру первого числа, вторую цифру второго, третью цифру третьего и так далее — это диагональ таблицы. Затем каждую из этих цифр заменяет на любую другую (например, 1 → 2, 2 → 3 и т.д.). Получается новое число, отличающееся хотя бы на одну цифру от каждого числа в списке.
Такое число не совпадает ни с одним из перечисленных — значит, наш список был неполным. Следовательно, никакое перечисление не охватывает все вещественные числа, и множество вещественных чисел несчётно.
Этот метод показывает, что бесконечность вещественных чисел строго больше, чем бесконечность натуральных.
Ну вот и всё!
Мы разобрали основные понятия, связанные с бесконечностями. Конечно, это лишь верхушка айсберга — за каждой идеей здесь скрывается целая теория. В следующих постах в этой разберёмся глубже. Подпишись, чтобы не пропустить продолжение.
Мемы, задачи, цитаты
Всё это и многое другое вы найдёте в нашем телеграм-канале: https://t.me/thisMath