Когда тело падает с движущегося объекта, его начальная скорость — это скорость самого объекта. Сегодня мы решим задачу: подъёмный кран опускает плиту со скоростью V = 1 м/с. С высоты h = 4 м падает камень. Найдём разность во времени τ между падением камня и плиты на землю. Ускорение свободного падения g = 10 м/с², толщиной плиты пренебрегаем.
Шаг 1. Движение плиты
Плита движется равномерно вниз со скоростью V = 1 м/с.
Расстояние до земли: h = 4 м.
Время падения плиты:
tₚ = h / V = 4 / 1 = 4 с
Шаг 2. Движение камня
Камень в момент отрыва имеет начальную скорость, равную скорости плиты:
v₀ = 1 м/с (направлена вниз).
Движение камня — равноускоренное с ускорением g = 10 м/с².
Уравнение координаты (ось Y вниз, y₀ = 0):
y(t) = v₀·t + (1/2)g·t²
Камень достигает земли, когда y(tₖ) = h = 4 м:
4 = 1·tₖ + (1/2)·10·tₖ²
→ 4 = tₖ + 5tₖ²
→ 5tₖ² + tₖ – 4 = 0
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
5tₖ² + tₖ – 4 = 0
Дискриминант:
D = 1² – 4·5·(–4) = 1 + 80 = 81
√D = 9
Корни:
tₖ = [–1 ± 9] / (2·5)
Берём положительный корень:
tₖ = (–1 + 9)/10 = 8/10 = 0.8 с
Шаг 4. Найдём разность во времени
Плита падает 4 с, камень — 0.8 с.
→ Камень достигает земли раньше.
Разность:
τ = tₚ – tₖ = 4 – 0.8 = 3.2 с
Шаг 5. Проверка
Если бы камень падал без начальной скорости (v₀ = 0):
t = √(2h/g) = √(8/10) = √0.8 ≈ 0.894 с
Но у него v₀ = 1 м/с вниз, поэтому он падает быстрее — 0.8 с, что логично.
Ответ: промежуток времени между падениями составляет τ = 3.2 секунды.
Шаг 6. Формулы для копирования
- t_плиты = h / V
- Для камня: h = v₀·t + 0.5·g·t²
- τ = t_плиты – t_камня
- g = 10 м/с², v₀ = V (вниз)
Эта задача показывает: даже небольшая начальная скорость сильно влияет на время падения.
А теперь представьте: вы видите падающий камень и думаете: «Он упадёт за 0.8 с, а плита — за 4 с, разница — 3.2 с». Друг спрашивает: «Ты что, с камнем ведёшь хронометраж?» — а вы отвечаете: «Нет, просто решил уравнение движения». Он смотрит вниз… и решает отойти подальше. Вдруг плита решит проверить ваш расчёт на прочность?