Когда тело движется по сложной траектории, средняя скорость определяется не как среднее арифметическое скоростей, а как вектор полного перемещения, делённый на общее время. Сегодня мы решим задачу: тело совершает два одинаковых по длине перемещения:
- первое — со скоростью v₁ = 20 м/с под углом α₁ = 60° к оси OX,
- второе — со скоростью v₂ = 40 м/с под углом α₂ = 120° к той же оси.
Найдём среднюю скорость vср всего движения.
Шаг 1. Обозначим длину каждого перемещения
Пусть длина каждого перемещения равна S.
Тогда полный путь = 2S, но перемещение — векторная сумма двух векторов длиной S.
Шаг 2. Найдём время каждого участка
- Время первого участка: t₁ = S / v₁ = S / 20
- Время второго участка: t₂ = S / v₂ = S / 40
- Общее время: t = t₁ + t₂ = S/20 + S/40 = (2S + S)/40 = 3S/40
Шаг 3. Найдём вектор полного перемещения
Разложим каждое перемещение на компоненты по осям OX и OY.
Первое перемещение (угол 60°):
- Δx₁ = S · cos(60°) = S · 0.5
- Δy₁ = S · sin(60°) = S · (√3/2) ≈ S · 0.866
Второе перемещение (угол 120°):
- cos(120°) = cos(180°–60°) = –cos(60°) = –0.5
- sin(120°) = sin(180°–60°) = sin(60°) = √3/2 ≈ 0.866
→
- Δx₂ = S · (–0.5) = –0.5S
- Δy₂ = S · 0.866
Полное перемещение:
- Δx = Δx₁ + Δx₂ = 0.5S – 0.5S = 0
- Δy = Δy₁ + Δy₂ = 0.866S + 0.866S = 1.732S = S√3
→ Вектор перемещения направлен строго вдоль оси OY, его модуль:
|Δr| = √(0² + (S√3)²) = S√3
Шаг 4. Найдём среднюю скорость
Средняя скорость — вектор, но в задаче, скорее всего, просят модуль средней скорости:
vср = |Δr| / t = (S√3) / (3S/40) = √3 · (40/3) ≈ 1.732 · 13.333 ≈ 23.1 м/с
Точнее:
vср = (40√3) / 3 ≈ 23.1 м/с
Шаг 5. Проверка и анализ
- Проекции по X взаимно компенсировались (60° и 120° — симметричны относительно OY),
- Оба перемещения направлены вверх, поэтому суммарное перемещение — по OY,
- Средняя путевая скорость (путь/время) была бы:
v_пут = 2S / (3S/40) = 80/3 ≈ 26.7 м/с,
но средняя скорость (перемещение/время) — меньше, так как тело «вернулось» по горизонтали.
Ответ: модуль средней скорости тела равен (40√3)/3 ≈ 23.1 м/с, направлена перпендикулярно оси OX (вдоль OY).
Шаг 6. Формулы для копирования
- v_ср = |Δr| / t
- Δx = S·cosα₁ + S·cosα₂
- Δy = S·sinα₁ + S·sinα₂
- t = S/v₁ + S/v₂
- cos(120°) = –0.5, sin(120°) = √3/2
Средняя скорость — это не «среднее от скоростей», а отражение итогового результата движения.
А теперь представьте: вы смотрите на траекторию и думаете: «Δx = 0, Δy = S√3, t = 3S/40 → vср = 40√3/3». Друг спрашивает: «Ты что, с векторами ведёшь диалог?» — а вы отвечаете: «Нет, просто помню, что средняя скорость — это перемещение делить на время». Он смотрит на график… и решает не путать путь и перемещение. Вдруг его задача решит проверить его на знание векторов?