С высотой атмосферное давление и температура падают, и воздух становится всё более разреженным. Это влияет на дыхание, работу двигателей и даже на время варки яиц. Сегодня мы найдём плотность воздуха на высоте 7134 м (пик Ленина), зная давление и температуру на вершине, а также плотность воздуха при нормальных условиях.
Шаг 1. Запишем известные данные
На вершине (1):
- Давление: p₁ = 3.8 × 10⁴ Па
- Температура: t₁ = –10 °C → T₁ = 273 – 10 = 263 К
При нормальных условиях (0):
- Давление: p₀ = 1.0 × 10⁵ Па
- Температура: t₀ = 0 °C → T₀ = 273 К
- Плотность: ρ₀ = 1.29 кг/м³
Шаг 2. Используем уравнение состояния для плотности
Из уравнения Менделеева–Клапейрона:
pV = (m / M) RT
Но m / V = ρ (плотность), поэтому:
p = (ρ / M) RT → ρ = (p M) / (R T)
Для одного и того же газа (воздуха) M = const, R = const, поэтому:
ρ ∝ p / T
→ Отношение плотностей:
ρ₁ / ρ₀ = (p₁ / p₀) · (T₀ / T₁)
Шаг 3. Подставим числа
ρ₁ = ρ₀ · (p₁ / p₀) · (T₀ / T₁)
= 1.29 · (3.8 × 10⁴ / 1.0 × 10⁵) · (273 / 263)
Вычислим по частям:
- p₁ / p₀ = 38000 / 100000 = 0.38
- T₀ / T₁ = 273 / 263 ≈ 1.038
Теперь:
ρ₁ = 1.29 · 0.38 · 1.038 ≈ 1.29 · 0.394 ≈ 0.508 кг/м³
Шаг 4. Интерпретация результата
Плотность воздуха на пике Ленина — около 0.51 кг/м³, что в 2.5 раза меньше, чем у поверхности (1.29 кг/м³).
→ Это объясняет:
- Почему дышать трудно (меньше кислорода в каждом вдохе),
- Почему самолёты кабину герметизируют и подкачивают,
- Почему в горах вода кипит при меньшей температуре (но это уже другой эффект).
Шаг 5. Проверка размерности
Формула ρ ∝ p / T даёт:
[Па / К] = [(Н/м²) / К] = [(кг·м/с²) / м²] / К = [кг/(м·с²·К)] — не совпадает?
Но на самом деле:
ρ = pM / (RT) → [ρ] = (Па · кг/моль) / (Дж/(моль·К) · К) = (Н/м² · кг) / (Н·м) = кг/м³ — верно.
В нашем расчёте M и R сократились, поэтому пропорция корректна.
Ответ: плотность воздуха на вершине пика Ленина составляет примерно 0.51 кг/м³.
Знание плотности воздуха на высоте — не просто теория, а вопрос выживания для альпинистов и лётчиков.
А теперь представьте: вы стоите на вершине и думаете: «Плотность воздуха — 0.51 кг/м³, значит, в лёгкие попадает в 2.5 раза меньше кислорода!» Друг спрашивает: «Ты что, с воздухом ведёшь учёт молекул?» — а вы отвечаете: «Нет, просто применил ρ ∝ p/T». Он делает глубокий вдох… и решает спуститься быстрее. Вдруг его лёгкие решат проверить ваш расчёт на практике?