В закрытом сосуде объём и количество газа не меняются — но если молекулы ускорятся, они будут чаще и сильнее ударяться о стенки, и давление возрастёт. Сегодня мы найдём, во сколько раз увеличится давление, если средняя квадратичная скорость молекул возрастёт на 30%.
Шаг 1. Связь давления и скорости молекул
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ):
p = (1/3) · n · m₀ · u²
где:
- p — давление,
- n — концентрация молекул (N/V),
- m₀ — масса одной молекулы,
- u — средняя квадратичная скорость.
В закрытом сосуде:
- объём V = const,
- число молекул N = const → n = const,
- масса молекул m₀ = const.
→ Все величины, кроме u, не меняются.
Следовательно:
p ∝ u²
→ Давление пропорционально квадрату скорости.
Шаг 2. Увеличение скорости на 30%
Пусть начальная скорость: u₁ = u
Тогда новая скорость:
u₂ = u + 30% · u = 1.3 · u
Шаг 3. Найдём отношение давлений
p₁ ∝ u₁² = u²
p₂ ∝ u₂² = (1.3u)² = 1.69 u²
→
p₂ / p₁ = 1.69
Шаг 4. Ответ в процентах
Давление увеличится в 1.69 раза, то есть на 69%.
(Потому что 1.69 – 1 = 0.69 = 69%)
Проверка через температуру (альтернативный способ)
Из МКТ: u² = 3kT / m₀ → u² ∝ T
Из уравнения состояния: p ∝ T (при V, ν = const)
→ p ∝ u² — то же самое.
Если u выросла на 30%, то T выросла в 1.69 раз, значит, и p — тоже.
Ответ: давление увеличится в 1.69 раза (на 69%).
Шаг 5. Формулы для копирования
- p = (1/3) * n * m_0 * u^2
- p ∝ u^2
- Если u₂ = k · u₁, то p₂ = k² · p₁
- При увеличении на 30%: k = 1.3 → k² = 1.69
Эта задача показывает: даже небольшой рост скорости молекул сильно влияет на давление — потому что всё зависит от квадрата скорости.
А теперь представьте: вы смотрите на баллон и думаете: «Если молекулы разогнались на 30%, давление выросло на 69% — надо срочно охладить!» Друг спрашивает: «Ты что, с газом ведёшь учёт скоростей?» — а вы отвечаете: «Нет, просто помню, что p ∝ u²». Он смотрит на манометр… и решает отойти подальше. Вдруг баллон решит проверить ваш расчёт на прочность?