Из одной и той же пушки последовательно выпускают два снаряда с одинаковой начальной скоростью v₀ = 250 м/с, но под разными углами к горизонту:
- Первый — под углом α₁ = 60°
- Второй — под углом α₂ = 45°
Азимут (направление в горизонтальной плоскости) одинаков, то есть оба снаряда летят в одной вертикальной плоскости.
Второй снаряд запускается через некоторое время Δt после первого. Нужно найти такой интервал времени Δt, при котором снаряды столкнутся в воздухе (то есть окажутся в одной точке пространства в один и тот же момент времени).
Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².
Шаг 1. Запишем уравнения движения для каждого снаряда
Общие формулы для координат тела, брошенного под углом:
- x(t) = v₀·cosα · t
- y(t) = v₀·sinα · t – (g·t²)/2
Пусть:
- Первый снаряд запущен в момент t = 0
- Второй снаряд запущен в момент t = Δt
Рассмотрим момент времени t > Δt, когда оба снаряда уже в полёте.
Тогда:
- Координаты первого снаряда в момент t:
x₁(t) = v₀·cosα₁ · t
y₁(t) = v₀·sinα₁ · t – (g·t²)/2 - Координаты второго снаряда в момент t (он летит уже t – Δt секунд):
x₂(t) = v₀·cosα₂ · (t – Δt)
y₂(t) = v₀·sinα₂ · (t – Δt) – (g·(t – Δt)²)/2
Для столкновения необходимо, чтобы в некоторый момент t = t_c выполнялось:
x₁(t_c) = x₂(t_c) и y₁(t_c) = y₂(t_c)
Шаг 2. Приравняем горизонтальные координаты
v₀·cosα₁ · t_c = v₀·cosα₂ · (t_c – Δt)
Сократим v₀ ≠ 0:
cosα₁ · t_c = cosα₂ · (t_c – Δt)
→ cosα₁ · t_c = cosα₂ · t_c – cosα₂ · Δt
→ (cosα₁ – cosα₂) · t_c = –cosα₂ · Δt
→ t_c = [cosα₂ / (cosα₂ – cosα₁)] · Δt ...(1)
(Заметим: cosα₂ > cosα₁, так как α₂ = 45°, α₁ = 60° → cos45 ≈ 0.707, cos60 = 0.5 → знаменатель положителен.)
Шаг 3. Приравняем вертикальные координаты
v₀·sinα₁ · t_c – (g·t_c²)/2 = v₀·sinα₂ · (t_c – Δt) – (g·(t_c – Δt)²)/2
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:
2v₀·sinα₁ · t_c – g·t_c² = 2v₀·sinα₂ · (t_c – Δt) – g·(t_c – Δt)²
Раскроем правую часть:
= 2v₀·sinα₂·t_c – 2v₀·sinα₂·Δt – g·(t_c² – 2t_c·Δt + Δt²)
= 2v₀·sinα₂·t_c – 2v₀·sinα₂·Δt – g·t_c² + 2g·t_c·Δt – g·Δt²
Теперь перенесём всё в левую часть:
[2v₀·sinα₁·t_c – g·t_c²] – [2v₀·sinα₂·t_c – 2v₀·sinα₂·Δt – g·t_c² + 2g·t_c·Δt – g·Δt²] = 0
Упростим:
2v₀·sinα₁·t_c – g·t_c² – 2v₀·sinα₂·t_c + 2v₀·sinα₂·Δt + g·t_c² – 2g·t_c·Δt + g·Δt² = 0
Заметим: –g·t_c² + g·t_c² = 0 — сокращаются.
Остаётся:
2v₀·t_c (sinα₁ – sinα₂) + 2v₀·sinα₂·Δt – 2g·t_c·Δt + g·Δt² = 0
Разделим всё на 2:
v₀·t_c (sinα₁ – sinα₂) + v₀·sinα₂·Δt – g·t_c·Δt + (g·Δt²)/2 = 0 ...(2)
Шаг 4. Подставим выражение для t_c из (1) в (2)
Сначала вычислим численные значения тригонометрических функций:
- cosα₁ = cos60° = 0.5
- cosα₂ = cos45° = √2/2 ≈ 0.70710678
- sinα₁ = sin60° = √3/2 ≈ 0.8660254
- sinα₂ = sin45° = √2/2 ≈ 0.70710678
Обозначим для удобства:
C1 = cosα₁ = 0.5
C2 = cosα₂ ≈ 0.70710678
S1 = sinα₁ ≈ 0.8660254
S2 = sinα₂ ≈ 0.70710678
Из (1):
t_c = [C2 / (C2 – C1)] · Δt
Вычислим коэффициент:
C2 – C1 ≈ 0.70710678 – 0.5 = 0.20710678
C2 / (C2 – C1) ≈ 0.70710678 / 0.20710678 ≈ 3.4142136
(Это число равно 2 + √2, но проверим позже.)
Итак: t_c ≈ 3.4142136 · Δt
Теперь подставим в уравнение (2):
v₀·t_c (S1 – S2) + v₀·S2·Δt – g·t_c·Δt + (g·Δt²)/2 = 0
Вычислим разности:
S1 – S2 ≈ 0.8660254 – 0.70710678 = 0.1589186
Теперь подставим t_c = k·Δt, где k ≈ 3.4142136
Тогда:
v₀·(k·Δt)·(S1 – S2) + v₀·S2·Δt – g·(k·Δt)·Δt + (g·Δt²)/2 = 0
Разделим всё на Δt (Δt ≠ 0):
v₀·k·(S1 – S2) + v₀·S2 – g·k·Δt + (g·Δt)/2 = 0
Сгруппируем члены с Δt:
[v₀·k·(S1 – S2) + v₀·S2] + Δt·[–g·k + g/2] = 0
→ Δt·[g·(1/2 – k)] = –v₀·[k·(S1 – S2) + S2]
→ Δt = –v₀·[k·(S1 – S2) + S2] / [g·(1/2 – k)]
Заметим, что k > 0.5, поэтому знаменатель отрицательный, а числитель — положительный → Δt > 0, как и должно быть.
Теперь подставим числа:
v₀ = 250 м/с
g = 9.8 м/с²
k ≈ 3.4142136
S1 – S2 ≈ 0.1589186
S2 ≈ 0.7071068
Числитель:
N = k·(S1 – S2) + S2 ≈ 3.4142136·0.1589186 + 0.7071068
→ 3.4142136·0.1589186 ≈ 0.542640
→ N ≈ 0.542640 + 0.707107 ≈ 1.249747
Знаменатель:
D = g·(1/2 – k) = 9.8·(0.5 – 3.4142136) = 9.8·(–2.9142136) ≈ –28.5593
Тогда:
Δt = –250·1.249747 / (–28.5593) = (250·1.249747) / 28.5593
Вычислим:
250·1.249747 ≈ 312.4368
Δt ≈ 312.4368 / 28.5593 ≈ 10.94 с
Округлим до разумной точности: Δt ≈ 10.9 с
Но давайте проверим аналитически — возможно, есть точное выражение.
Шаг 5. Аналитическое упрощение (точный ответ)
Заметим, что:
- cos45 = √2/2, cos60 = 1/2 →
k = (√2/2) / (√2/2 – 1/2) = (√2) / (√2 – 1)
Умножим числитель и знаменатель на (√2 + 1):
k = √2(√2 + 1) / [(√2 – 1)(√2 + 1)] = √2(√2 + 1) / (2 – 1) = √2(√2 + 1) = 2 + √2
Да! k = 2 + √2 ≈ 3.4142136 — верно.
Теперь:
S1 = √3/2, S2 = √2/2
S1 – S2 = (√3 – √2)/2
Тогда:
N = k·(S1 – S2) + S2 = (2 + √2)·(√3 – √2)/2 + √2/2
Приведём к общему знаменателю 2:
N = [ (2 + √2)(√3 – √2) + √2 ] / 2
Раскроем скобки:
(2 + √2)(√3 – √2) = 2√3 – 2√2 + √2·√3 – √2·√2 = 2√3 – 2√2 + √6 – 2
Тогда:
N = [2√3 – 2√2 + √6 – 2 + √2] / 2 = [2√3 – √2 + √6 – 2] / 2
Не очень красиво, но можно оставить численно.
Знаменатель:
1/2 – k = 1/2 – (2 + √2) = –(3/2 + √2)
Тогда:
Δt = –v₀·N / [g·(1/2 – k)] = v₀·N / [g·(3/2 + √2)]
Подставим N:
Δt = v₀ / g · [2√3 – √2 + √6 – 2] / [2·(3/2 + √2)] = v₀ / g · [2√3 – √2 + √6 – 2] / [3 + 2√2]
Это точное выражение, но оно громоздкое. Численно:
v₀/g = 250 / 9.8 ≈ 25.5102
Числитель: 2√3 ≈ 3.4641, √6 ≈ 2.4495 →
2√3 – √2 + √6 – 2 ≈ 3.4641 – 1.4142 + 2.4495 – 2 = 2.4994
Знаменатель: 3 + 2√2 ≈ 3 + 2·1.4142 = 5.8284
Тогда дробь: 2.4994 / 5.8284 ≈ 0.4288
Δt ≈ 25.5102 · 0.4288 ≈ 10.94 с
Совпадает с предыдущим расчётом.
Ответ:
Интервал времени между выстрелами должен составлять примерно 10,9 секунды.
(Более точно: Δt ≈ 10,94 с)
Понимание относительного движения и траекторий позволяет не только организовывать фейерверки или военные учения, но и избегать столкновений дронов в воздухе.
А теперь представьте: вы бросаете два блина на сковородку — один круто вверх, другой под поменьше углом. Если бросить второй чуть позже, они могут встретиться посередине и даже обняться! Только в жизни блины редко летают по параболам… но если бы летали — физика точно подсказала бы, когда кидать второй, чтобы угощение получилось идеальным.