Материальная точка движется в плоскости, и её координаты зависят от времени по законам:
- x(t) = 10·cos(3t)
- y(t) = 10·sin(3t)
где x и y — в сантиметрах, t — в секундах.
Нужно найти скорость и ускорение точки (их модули), а также понять характер движения.
Шаг 1. Определим тип движения
Уравнения вида:
- x = R·cos(ωt)
- y = R·sin(ωt)
описывают равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω.
Сравнивая:
- R = 10 см
- ω = 3 рад/с
Значит, точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянной угловой скоростью 3 рад/с. Это — равномерное круговое движение.
В таком движении:
- Модуль скорости постоянен
- Ускорение направлено к центру окружности (центростремительное) и тоже постоянно по модулю
Но мы всё равно выведем всё через дифференцирование — как того требует задача.
Шаг 2. Найдём проекции скорости
Скорость — вектор, компоненты которого:
- vₓ = dx/dt
- vᵧ = dy/dt
Дифференцируем:
- x(t) = 10·cos(3t) → vₓ = d/dt [10·cos(3t)] = 10·(–sin(3t))·3 = –30·sin(3t)
- y(t) = 10·sin(3t) → vᵧ = d/dt [10·sin(3t)] = 10·cos(3t)·3 = 30·cos(3t)
Итак, компоненты скорости (в см/с):
- vₓ = –30·sin(3t)
- vᵧ = 30·cos(3t)
Шаг 3. Найдём модуль скорости
Модуль скорости:
v = √(vₓ² + vᵧ²)
Подставим:
v² = (–30·sin(3t))² + (30·cos(3t))² = 900·sin²(3t) + 900·cos²(3t) = 900·[sin²(3t) + cos²(3t)] = 900
Поскольку sin² + cos² = 1.
Тогда:
v = √900 = 30 см/с
Модуль скорости постоянен и равен 30 см/с.
Можно также проверить через формулу для равномерного кругового движения:
v = ω·R = 3 рад/с × 10 см = 30 см/с — совпадает.
Шаг 4. Найдём проекции ускорения
Ускорение — производная скорости по времени:
- aₓ = dvₓ/dt = d/dt [–30·sin(3t)] = –30·cos(3t)·3 = –90·cos(3t)
- aᵧ = dvᵧ/dt = d/dt [30·cos(3t)] = 30·(–sin(3t))·3 = –90·sin(3t)
Итак, компоненты ускорения (в см/с²):
- aₓ = –90·cos(3t)
- aᵧ = –90·sin(3t)
Шаг 5. Найдём модуль ускорения
a = √(aₓ² + aᵧ²)
a² = (–90·cos(3t))² + (–90·sin(3t))² = 8100·cos²(3t) + 8100·sin²(3t) = 8100·[cos² + sin²] = 8100
Тогда:
a = √8100 = 90 см/с²
Это — центростремительное ускорение, направленное к центру окружности.
Проверим по формуле:
a = ω²·R = (3)² × 10 = 9 × 10 = 90 см/с² — верно.
Ответ:
- Скорость точки: 30 см/с (постоянная по модулю)
- Ускорение точки: 90 см/с² (постоянное по модулю, направлено к центру окружности)
Понимание кругового движения лежит в основе работы всего — от шин автомобиля до спутников на орбите. Без центростремительного ускорения Луна давно бы улетела в космос, а вы — с поворота на велосипеде!
А теперь представьте: вы кружитесь на офисном кресле с чашкой кофе, и вдруг замечаете, что кофе не расплёскивается. Это не магия — это центростремительное ускорение держит его в чашке! Только не кружитесь слишком быстро… иначе ускорение найдёт способ напомнить о себе — прямо на вашей рубашке.