Когда горячую воду наливают на лёд, происходит не просто теплообмен, а фазовый переход: часть льда может растаять, а часть воды — остыть. Чтобы найти конечную температуру, нужно проверить, хватит ли теплоты от остывающей воды, чтобы полностью расплавить лёд. Сегодня мы решим задачу: в калориметр с льдом массой 0,10 кг при 0 °C влили 0,50 кг воды при 70 °C. Найдём конечную температуру смеси. Теплоёмкостью калориметра пренебрегаем.
Шаг 1. Запишем известные данные и константы
- Масса льда: mₗ = 0,10 кг,
- Начальная температура льда: 0 °C,
- Масса воды: mᵥ = 0,50 кг,
- Начальная температура воды: tᵥ = 70 °C,
- Удельная теплота плавления льда: λ = 334 000 Дж/кг,
- Удельная теплоёмкость воды: c = 4180 Дж/(кг·°C).
Шаг 2. Определим, хватит ли теплоты для полного плавления льда
Теплота, необходимая для плавления всего льда:
Q₁ = λ · mₗ = 334 000 · 0,10 = 33 400 Дж
Теплота, которую может отдать вода при охлаждении до 0 °C:
Q₂ = c · mᵥ · Δt = 4180 · 0,50 · (70 – 0) = 4180 · 35 = 146 300 Дж
Сравним:
Q₂ = 146 300 Дж > Q₁ = 33 400 Дж
→ Теплоты достаточно, чтобы полностью расплавить лёд, и оставшаяся энергия нагреет полученную воду.
→ Конечное состояние: только вода при температуре t > 0 °C.
Шаг 3. Составим уравнение теплового баланса
Вся теплота, отданная горячей водой, идёт на:
- Плавление льда,
- Нагрев полученной от льда воды от 0 °C до конечной температуры t.
Отданная теплота (вода охлаждается от 70 °C до t):
Q_отд = c · mᵥ · (70 – t)
Полученная теплота:
- На плавление: λ · mₗ,
- На нагрев талой воды (масса = mₗ) от 0 °C до t: c · mₗ · t
Уравнение теплового баланса:
Q_отд = Q_получ
→
c · mᵥ · (70 – t) = λ · mₗ + c · mₗ · t
Шаг 4. Подставим числа и решим уравнение
4180 · 0,50 · (70 – t) = 334 000 · 0,10 + 4180 · 0,10 · t
Вычислим коэффициенты:
- Левая часть: 2090 · (70 – t)
- Правая часть: 33 400 + 418 · t
Раскроем скобки:
2090 · 70 – 2090 · t = 33 400 + 418 · t
146 300 – 2090t = 33 400 + 418t
Перенесём все члены с t вправо, числа — влево:
146 300 – 33 400 = 2090t + 418t
112 900 = 2508t
Найдём t:
t = 112 900 / 2508 ≈ 45,0 °C
Шаг 5. Проверка
- Вода остыла на 70 – 45 = 25 °C → отдала: 4180 · 0,5 · 25 = 52 250 Дж
- На плавление льда: 33 400 Дж
- На нагрев 0,1 кг воды от 0 до 45 °C: 4180 · 0,1 · 45 = 18 810 Дж
- Всего получено: 33 400 + 18 810 = 52 210 Дж
Разница ≈ 40 Дж — погрешность округления. Всё сходится!
Ответ: конечная температура воды в калориметре — 45 °C.
Шаг 6. Почему важно проверять фазовый переход?
Если бы Q₂ < Q₁, лёд бы не весь растаял, и конечная температура была бы 0 °C (смесь льда и воды).
Если бы Q₂ = Q₁, растаял бы весь лёд, и температура была бы 0 °C.
Только убедившись, что лёд полностью расплавился, можно искать t > 0.
Шаг 7. Формулы для копирования
- Q_плавления = λ * m
- Q_нагрева = c * m * ΔT
- Тепловой баланс: Q_отдано = Q_получено
- λ = 334000 Дж/кг
- c = 4180 Дж/(кг·°C)
Тепловые задачи с фазовыми переходами — это как детектив: сначала выясни, что произошло (растаял ли весь лёд?), а потом уже ищи детали (температуру).
А теперь представьте: вы смотрите на стакан с водой и льдом и думаете: «Если добавить 0,5 кг воды при 70°C, получится 45°C». Друг спрашивает: «Ты что, с калориметром на «ты»?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверил тепловой баланс». Он смотрит на стакан… и решает не добавлять лёд. Вдруг вода решит проверить ваш расчёт?