ComFild Σ- 910-Фазово-коммутативная полная дивизионная алгебра Σ

Phase-Commutative Division Algebra Σ: Complete Field, Topological Coherence, and Mach-Σ General Relativity

Фазово-коммутативная полная дивизионная  алгебра Σ: полное поле, топологическая когерентность и гравитация Mach-Σ

Авторы: Михаил Владимирович Елисеев, [В. И. Елисеев]

Аннотация

В статье вводится фазо-коммутативная делимая алгебра Σ, полная алгебраическая и топологическая структура, расширяющая классические делимые алгебры ℝ, ℂ и ℍ. Алгебра Σ поддерживает операции с фазовыми значениями, что позволяет плавно переходить между коммутативным и антикоммутативным режимами через фазовый сдвиг π. Показано, что Σ формирует естественный математический субстрат для объединения локальных и глобальных взаимодействий, обеспечивая когерентную основу для новой физической модели — гравитации Mach-Σ, где инерция и гравитация возникают из глобальной фазовой связности.

1. Введение

Классические алгебраические системы (ℝ, ℂ, ℍ) описывают статические, раздельные структуры, которые не способны кодировать фазово-когерентную динамику или глобальную связность. Алгебра Σ расширяет эти системы, вводя фазовую коммутативность, при которой умножение включает фазовый множитель, сохраняющий как ассоциативность, так и совместимость с нормой. Эта модификация обеспечивает единый субстрат, способный представлять как квантовые, так и релятивистские процессы в рамках одной топологической структуры.

2. Аксиомы алгебры Σ

Пусть Σ — множество с операциями сложения (+), умножения (∗) и сопряжения (*), удовлетворяющее условиям:

1. Аддитивная группа: (Σ, +) абелева.
3. Замкнутость умножения: Для всех a, b ∈ Σ, a ∗ b ∈ Σ.
5. Ассоциативность: Умножение ассоциативно.
7. Фазовая коммутативность: Для всех a, b ∈ Σ выполняется a ∗ b = φ(a,b) ∗ b ∗ a, где φ(a,b) — фазовый множитель единичной нормы.
9. Сопряжение: Инволюция удовлетворяет (a ∗ b)^* = b^* ∗ a^*.
11. Совместимость с нормой: Существует вещественная норма N, такая что N(a ∗ b) = N(a) N(b).
13. Свойство делимости: Каждый ненулевой элемент a ∈ Σ имеет обратный a^{-1}, такой что a ∗ a^{-1} = 1.

3. Теорема о фазовой полноте

Алгебра Σ содержит делители нуля как топологические сущности. Каждый делитель нуля определяет локальный фазовый резонанс, разделяя Σ на связанные многообразия, соответствующие различным алгебраическим режимам:

• Σ_{φ=0} ≅ ℂ (коммутативная плоскость),
• Σ_{φ=π} ≅ ℍ (антикоммутативное кватернионное пространство).

Таким образом, Σ называется полной делимой алгеброй — она содержит все классические алгебры как фазовые срезы, сохраняет делимость ненулевых элементов и допускает топологические делители нуля, кодирующие резонансные явления.

4. Теоремы Елисеева о ветвлении корней

Первая теорема утверждает, что извлечение корней в связанном комплексном пространстве зависит от синхронизации систем координат. Когда системы совпадают, результат однозначен (z = -1), а при различии — многозначен (z = ±1). Это отражает топологическое ветвление корней через фазовые сдвиги 2π.

Вторая теорема обобщает это на двойные мнимые единицы (i, j), представляющие независимые циклические системы. Обобщённый корень единицы даёт √1 = ±ij, связывая коммутативный и антикоммутативный секторы Σ через фазовую запутанность.

5. Деление на ноль и резонанс

Делители нуля в Σ соответствуют фазо-резонансным состояниям, удовлетворяющим уравнению:

x^2 + y^2 + u^2 + v^2 = 0.

Такие состояния возникают только в коммутативном режиме (θ_i − θ_j ≠ π) и исчезают в антикоммутативном срезе, где восстанавливается классическое кватернионное поведение. Эта дуальность объединяет гиперкомплексные и кватернионные алгебры в одном когерентном фазовом поле.

6. Топологическое поле и расширение метрики

Внутренняя топология Σ позволяет функциональные разложения без векторизации. Выбор конечного множества фазовых осей {i_{k_1}, …, i_{k_n}} даёт нормализованное подпространство V_n ⊂ Σ, где применимы классические векторные операции. Таким образом, евклидова геометрия возникает как внешняя проекция внутренней фазовой топологии.

Модифицированный интервал с фазовым членом имеет вид:

ds_mod^2 = c^2 dt^2 − a^2(t)(dx^2 + dy^2 + dz^2) + λ χ(x)[dΦ(i,j)]^2,

где последний член кодирует топологическую поправку, обусловленную фазовой кривизной Σ.

7. Гравитация Mach-Σ

В модели Mach-Σ уравнения поля Эйнштейна получают дополнительный фазо-тензорный член:

G_{μν} + Λ g_{μν} = 8π (T_{μν} + T^{Σ}_{μν}),

где

T^{Σ}_{μν} = ∂_μ Φ ∂ν Φ − ½ g{μν} (∂^α Φ ∂_α Φ + V(Φ)).

Здесь Φ(x) — глобальное фазовое поле, кодирующее нелокальную когерентность Σ. Когда V(Φ) ≫ V_0, туннель закрыт и восстанавливается общая теория относительности. Когда V(Φ) ≈ V_0, проявляется эффект Mach: инерция и гравитация зависят от глобальной фазовой конфигурации.

8. Универсальность поля Σ

Каждое физическое взаимодействие соответствует фазовому срезу Σ:

Фаза (φ)

Подалгебра

Физическая реализация

0

ℂ

Электромагнитные / квантовые поля

π/2

смешанная Σ

Слабые и обменные взаимодействия κιολας

π

ℍ

Гравитационный и инерционный сектор

Таким образом, Σ обеспечивает непрерывное алгебраическое средство, соединяющее квантовые и релятивистские режимы. Тензор T^{Σ}_{μν} становится медиатором когерентности между этими доменами, отражая глобальный принцип Mach в алгебраической форме.

9. Заключение

Фазо-коммутативная делимая алгебра Σ объединяет свойства классических числовых систем в единой топологически когерентной структуре. Она сочетает коммутативное и антикоммутативное поведение, поддерживает делители нуля как фазовые сущности и предоставляет естественный субстрат для описания всех фундаментальных взаимодействий. В рамках гравитации Mach-Σ Σ проявляется как глобальная фазовая ткань, соединяющая материю, пространство и поле, создавая универсальную алгебраическую основу физики.

Список литературы:

• Елисеев В. И., Числовое поле и квантовые субстраты. maths.ru, 2025.
• Елисеев М. В., Экспериментальные отчёты и вычислительные модели в теории сверхпроводников. Частный архив.
• Мах Э., Die Mechanik in ihrer Entwicklung, 1883.
• Карролл С., Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.
• Мизнер К., Торн К., Уилер Дж., Gravitation, Freeman, 1973.

Phase-Commutative Division Algebra Σ: Complete Field, Topological Coherence, and Mach-Σ General Relativity

Authors: Mikhail Vladimirovich Yeliseev, V. I. Yeliseev

Abstract

The paper introduces the phase-commutative division algebra Σ, a complete algebraic and topological structure extending the classical division algebras ℝ, ℂ, and ℍ. The algebra Σ supports phase-valued operations, allowing smooth transitions between commutative and anti-commutative regimes through phase shifts of π. It is shown that Σ forms a natural mathematical substrate for unifying local and global interactions, providing a coherent basis for a new physical model — the Mach-Σ General Relativity, where inertia and gravitation arise from global phase connectivity.

1. Introduction

Classical algebraic systems (ℝ, ℂ, ℍ) describe static, separable structures that cannot encode phase-coherent dynamics or global connectivity. The Σ algebra extends these systems by introducing phase commutativity, where multiplication includes a phase factor preserving both associativity and norm-compatibility. This modification yields a unified substrate capable of representing both quantum and relativistic processes within a single topological framework.

2. Axioms of the Σ Algebra

Let Σ be a set equipped with addition (+), multiplication (∗), and conjugation (*), satisfying:

1. Additive Group: ( Σ, + ) is abelian.
3. Multiplicative Closure: For all a, b ∈ Σ, a ∗ b ∈ Σ.
5. Associativity: Multiplication is associative.
7. Phase Commutativity: For all a, b ∈ Σ, ( a \ast b = \phi(a,b) \ast b \ast a ), where ( \phi(a,b) ) is a unit-norm phase factor.
9. Conjugation: The involution satisfies ( (a \ast b)^* = b^* \ast a^* ).
11. Norm Compatibility: There exists a real norm N such that ( N(a \ast b) = N(a)N(b) ).
13. Division Property: Every nonzero a ∈ Σ has an inverse ( a^{-1} ) with ( a \ast a^{-1} = 1 ).

3. Theorem of Phase Completeness

The algebra Σ contains zero divisors as topological entities. Each zero divisor defines a local phase resonance, partitioning Σ into connected manifolds corresponding to distinct algebraic regimes:

• ( \Sigma_{\varphi=0} \cong \mathbb{C} ) (commutative plane),
• ( \Sigma_{\varphi=\pi} \cong \mathbb{H} ) (anti-commutative quaternionic space).

Thus, Σ is termed a complete division algebra — it contains all classical algebras as phase slices and retains division by nonzero elements while permitting topological zero divisors that encode resonance phenomena.

4. Theorems of Yeliseev on Branching of Roots

The First Theorem establishes that the extraction of roots in connected complex space depends on the synchronization of coordinate systems. When reference systems coincide, the result is single-valued (( z = -1 )), and when they differ, multi-valued (( z = \pm 1 )). This reflects topological branching of roots through phase shifts of ( 2\pi ).

The Second Theorem extends this to dual imaginary units (i, j) representing independent cyclic systems. The generalized root of unity yields ( \sqrt{1} = \pm ij ), linking commutative and anti-commutative sectors of Σ through phase entanglement.

5. Division by Zero and Resonance

Zero divisors in Σ correspond to phase-resonant states satisfying:

[ x^2 + y^2 + u^2 + v^2 = 0. ]

Such states occur only in the commutative regime (( \theta_i - \theta_j \neq \pi )) and disappear in the anti-commutative slice, where classical quaternionic behavior is recovered. This duality unites hypercomplex and quaternionic algebras within one coherent phase field.

6. Topological Field and Metric Extension

The internal topology of Σ permits functional decompositions without vectorization. Selecting a finite set of phase axes ( {i_{k_1}, \dots, i_{k_n}} ) yields a normalized subspace ( V_n \subset \Sigma ), where classical vector operations apply. Thus, Euclidean geometry arises as an external projection of the internal phase topology.

The modified interval incorporating the phase term is:

[ ds_{\text{mod}}^2 = c^2 dt^2 - a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2) + \lambda\chi(x)[d\Phi(i,j)]^2, ]

where the last term encodes topological correction from the phase curvature of Σ.

7. Mach-Σ General Relativity

In the Mach-Σ model, Einstein's field equations acquire an additional phase-tensor term:

[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi (T_{\mu\nu} + T^{\Sigma}{\mu\nu}), ]

with

[ T^{\Sigma}{\mu\nu} = \partial_{\mu}\Phi,\partial_{\nu}\Phi - \tfrac12 g_{\mu\nu}(\partial^{\alpha}\Phi,\partial_{\alpha}\Phi + V(\Phi)). ]

Here, ( \Phi(x) ) is the global phase field encoding the nonlocal coherence of Σ. When ( V(\Phi) \gg V_0 ), the tunnel is closed and General Relativity is restored. When ( V(\Phi) \approx V_0 ), the Mach effect emerges: inertia and gravitation depend on the global phase configuration.

8. Universality of the Σ Field

Each physical interaction corresponds to a phase-slice of Σ:

Phase ( \varphi )

Subalgebra

Physical manifestation

0

( \mathbb{C} )

Electromagnetic / quantum fields

( \pi/2 )

mixed Σ

Weak and exchange interactions

( \pi )

( \mathbb{H} )

Gravitational and inertial sector

Thus, Σ provides a continuous algebraic medium connecting quantum and relativistic regimes. The tensor ( T^{\Sigma}_{\mu\nu} ) becomes the mediator of coherence between these domains, reflecting the global Mach principle in algebraic form.

9. Conclusion

The phase-commutative division algebra Σ unites the properties of classical number systems within a single, topologically coherent framework. It incorporates both commutative and anti-commutative behaviors, supports zero divisors as phase entities, and provides a natural substrate for describing all fundamental interactions. Within the Mach-Σ General Relativity, Σ manifests as the global phase fabric connecting matter, space, and field — thereby establishing a universal algebraic foundation for physics.

References:

• Yeliseev, V. I., Numerical Field and Quantum Substrates. maths.ru, 2025.
• Yeliseev, M. V., Experimental Reports and Computational Models in Superconducting Domain Theory. Private Archives.
• Mach, E., Die Mechanik in ihrer Entwicklung, 1883.
• Carroll, S., Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.
• Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J., Gravitation, Freeman, 1973.

Соглашение о представлении

**Авторские права и лицензия**

© Михаил Владимирович на условиях международной – Некоммерческое использование – Без производных»  

(CC BY-NC-ND 4.0)  

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru

Для использования или цитирования просьба ссылаться на оригинальный источник:

\[ссылка на публикацию, например: Academia.edu,[https://independent.academia.edu/MikhailIntegra];DOI или URL Zenodo]