Каждый электрический заряд не только создаёт силовое поле (напряжённость E), но и формирует вокруг себя энергетический ландшафт — скалярное поле потенциала. В отличие от векторного поля E, потенциал φ проще в расчётах и даёт полную информацию о работе, которую может совершить поле. Для точечного заряда эта зависимость особенно проста и элегантна: φ = k·q / R. Сегодня мы разберём, откуда берётся эта формула, как определить её знак, как использовать для расчётов и почему именно потенциал — ключ к пониманию напряжения, работы и движения зарядов.
Шаг 1. Что такое потенциал точечного заряда?
Электрический потенциал φ в данной точке — это работа, которую нужно совершить, чтобы принести единичный положительный заряд из бесконечности в эту точку.
Для поля, созданного точечным зарядом q, потенциал на расстоянии R от него:
φ = k · q / R
где:
- φ — потенциал (в вольтах, В),
- k — коэффициент, k = 9 × 10⁹ Н·м²/Кл²,
- q — заряд-источник (в кулонах, Кл),
- R — расстояние от заряда до точки (в метрах, м).
🔹 Нулевой уровень потенциала выбран на бесконечности (φ → 0 при R → ∞).
Шаг 2. Знак потенциала: положительный vs отрицательный заряд
- Если q > 0 (положительный заряд) → φ > 0 → чтобы принести +1 Кл из бесконечности, нужно совершить работу (заряды отталкиваются).
- Если q < 0 (отрицательный заряд) → φ < 0 → работа совершается самим полем (заряды притягиваются), внешняя сила не нужна.
→ Потенциал — скаляр, но сохраняет знак заряда-источника.
Шаг 3. Откуда берётся формула?
Потенциальная энергия взаимодействия пробного заряда q₀ с зарядом q:
W = k · q · q₀ / R
По определению потенциала:
φ = W / q₀ = (k · q · q₀ / R) / q₀ = k · q / R
→ Потенциал не зависит от пробного заряда — это свойство самого поля!
Шаг 4. Пример расчёта
Заряд q = –8 нКл находится в вакууме. Найдите потенциал на расстоянии 20 см от него.
Дано:
q = –8 нКл = –8 × 10⁻⁹ Кл
R = 20 см = 0.2 м
k = 9 × 10⁹ Н·м²/Кл²
Решение:
φ = k · q / R = 9e9 · (–8e-9) / 0.2 = (–72) / 0.2 = –360 В
Ответ: потенциал — –360 вольт.
→ Отрицательный знак говорит, что положительный заряд будет притягиваться к источнику.
Шаг 5. Сравнение с напряжённостью поля
→ Потенциал убывает медленнее, чем напряжённость.
Шаг 6. Принцип суперпозиции
Для нескольких точечных зарядов потенциал в точке — алгебраическая сумма потенциалов от каждого:
φ = φ₁ + φ₂ + … = k · (q₁/R₁ + q₂/R₂ + …)
Пример:
- q₁ = +5 нКл на расстоянии 0.1 м → φ₁ = 450 В,
- q₂ = –3 нКл на расстоянии 0.1 м → φ₂ = –270 В,
- Общий потенциал: φ = 450 – 270 = 180 В.
Шаг 7. Связь с напряжением и работой
Разность потенциалов между двумя точками — это напряжение U:
U = φ₁ – φ₂
Работа поля по перемещению заряда q₀:
A = q₀ · U = q₀ · (φ₁ – φ₂)
→ Если q₀ > 0 и φ₁ > φ₂, работа положительна — заряд «скатывается» от высокого потенциала к низкому.
Шаг 8. Эквипотенциальные поверхности
Для точечного заряда — это концентрические сферы с центром в заряде.
Свойства:
- На каждой сфере φ = const,
- Силовые линии радиальны и перпендикулярны сферам,
- Работа по перемещению заряда по сфере = 0.
Шаг 9. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: забыть перевести нКл в Кл или см в м.
→ 1 нКл = 10⁻⁹ Кл, 1 см = 0.01 м.
❌ Ошибка 2: не учитывать знак заряда → получить +360 В вместо –360 В.
❌ Ошибка 3: путать потенциал и потенциальную энергию.
→ φ — свойство поля, W = q₀·φ — энергия заряда в поле.
Шаг 10. Где применяется?
- Атомная физика: потенциал ядра определяет энергетические уровни электронов,
- Электронная оптика: фокусировка пучков через потенциальные барьеры,
- Микросхемы: расчёт потенциалов на контактах транзисторов,
- Грозы: разность потенциалов между облаком и землёй достигает 100 млн вольт!
Шаг 11. Формулы для копирования
- φ = k * q / R
- k = 9e9 Н·м²/Кл²
- 1 нКл = 1e-9 Кл
- U = φ1 - φ2
- A = q0 * U
- 1 В = 1 Дж/Кл
Потенциал точечного заряда — это «энергетический голос» заряда в пространстве: чем ближе вы к нему, тем «громче» его потенциал. Без этого понятия невозможно понять ни работу батарейки, ни строение атома, ни даже, почему молния бьёт в одно место, а не в другое.
А теперь представьте: вы смотрите на пылинку с зарядом –10⁻¹² Кл и думаете: «На расстоянии 1 см её потенциал — –900 В!» Друг спрашивает: «Ты что, с пылью ведёшь диалог?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверяю, соблюдает ли φ = kq/R». Он смотрит на пылинку… и решает не трогать её пальцем. Вдруг потенциал окажется слишком высоким для его собственного заряда?