В промышленности, медицине и лабораторной практике часто возникает необходимость определить давление газа в сосуде, когда известны его масса, объём и температура. Для этого используется уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона). Сегодня мы решим задачу: найти давление кислорода массой 3,2 кг в баллоне объёмом 0,02 м³ при температуре 293 К. Разберём все шаги: от определения молярной массы до подстановки в формулу и анализа результата.
Шаг 1. Запишем уравнение состояния идеального газа
pV = (m / M) · R · T
где:
- p — давление (Па),
- V — объём (м³),
- m — масса газа (кг или г — главное, чтобы совпадала с M),
- M — молярная масса газа (кг/моль или г/моль),
- R — универсальная газовая постоянная, R = 8.31 Дж/(моль·К),
- T — абсолютная температура (К).
Шаг 2. Определим молярную массу кислорода
Кислород — двухатомный газ: O₂.
Атомная масса кислорода = 16 г/моль →
M(O₂) = 2 × 16 = 32 г/моль = 0.032 кг/моль.
Для удобства будем использовать граммы:
- m = 3.2 кг = 3200 г,
- M = 32 г/моль.
Шаг 3. Выпишем все известные данные
- m = 3200 г
- M = 32 г/моль
- V = 0.02 м³
- T = 293 К
- R = 8.31 Дж/(моль·К)
Шаг 4. Найдём количество вещества
ν = m / M = 3200 / 32 = 100 моль
В баллоне содержится 100 молей кислорода.
Шаг 5. Выразим давление из уравнения
p = (ν · R · T) / V
Шаг 6. Подставим числовые значения и вычислим
p = (100 · 8.31 · 293) / 0.02
Выполним по частям:
- 8.31 · 293 = 2434.83
- 100 · 2434.83 = 243 483
- 243 483 / 0.02 = 12 174 150 Па
Переведём в более удобные единицы:
- 12 174 150 Па ≈ 12.2 МПа
- В атмосферах: 12 174 150 / 101 325 ≈ 120 атм
Шаг 7. Анализ результата
Давление 12.2 МПа (120 атм) — это типичное значение для промышленных кислородных баллонов. Такие баллоны изготавливаются из прочной стали и рассчитаны на давление до 15–20 МПа, поэтому полученное значение реалистично и безопасно при соблюдении норм эксплуатации.
Шаг 8. Проверка размерности
[ν] = моль
[R] = Дж/(моль·К) = (Н·м)/(моль·К)
[T] = К
[V] = м³
Тогда:
[νRT / V] = (моль · Н·м / (моль·К) · К) / м³ = (Н·м) / м³ = Н/м² = Па — верно.
Шаг 9. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: не перевести массу в граммы при M = 32 г/моль → ν = 3.2 / 32 = 0.1 моль → давление в 1000 раз меньше!
❌ Ошибка 2: забыть, что кислород — O₂, и взять M = 16 г/моль → ν = 200 моль → давление в 2 раза больше.
❌ Ошибка 3: использовать V в литрах без перевода → V = 20 л = 0.02 м³ (всё верно, но если бы забыли — ошибка в 1000 раз).
Шаг 10. Формулы для копирования
- p = (m / M) * (R * T) / V
- M(O₂) = 32 г/моль
- R = 8.31 Дж/(моль·К)
- 1 МПа = 10⁶ Па
- 1 атм ≈ 101325 Па
Расчёт давления газа — это базовая, но жизненно важная задача в инженерии и безопасности. Ошибка в расчёте может привести к аварии, а правильный подход — к надёжной работе систем.
А теперь представьте: вы смотрите на кислородный баллон и думаете: «3.2 кг O₂ в 20 литрах при 20°C — это 120 атм. Всё в норме!» Механик спрашивает: «Ты что, с баллоном на «ты»?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверил по уравнению pV = νRT». Он смотрит на манометр… и кивает. Видимо, ваш расчёт совпал с прибором — а это значит, что физика снова спасла положение.