Линейная алгебра часто отпугивает студентов и программистов — слишком много символов, матриц, греческих букв и абстрактных определений. Но статья Адитьи Бхаргавы An Illustrated Introduction to Linear Algebra показывает, что за всей этой математической строгостью скрывается удивительно интуитивный мир, где всё можно буквально увидеть глазами.
🪙 От монет к векторам
Автор начинает с простого — задачки про никели и пенни:
сколько нужно монет, чтобы получить 23 цента?
🪙 5x + 1y = 23
Ответ легко проверить — четыре никеля и три пенни.
Так рождается первая идея: линейное уравнение — это не формула, а линия на графике.
Но всё становится интереснее, когда таких уравнений несколько.
Тогда на сцену выходит метод Гаусса, который Бхаргава объясняет не сухо, а через «кулинарный пример»:
нужно подобрать комбинацию молока 🥛 и хлеба 🍞, чтобы получить 5 грамм углеводов и 7 грамм белка.
В результате:
🥛 3 единицы молока и 🍞 1 единица хлеба дают идеальное соотношение.
🧮 Метод Гаусса в действии
Метод исключения Гаусса — это не просто школьный алгоритм, а элегантный процесс устранения переменных.
Сначала мы переписываем систему уравнений:
🥛 x + 2y = 5
🍞 2x + y = 7
А затем устраняем одну переменную, «вычитая» одно уравнение из другого.
Через пару шагов получаем ответ: x = 3, y = 1.
Бхаргава подчёркивает, что этот метод существовал задолго до Гаусса — его использовали китайские математики ещё 2000 лет назад в трактате “Девять книг об арифметических искусствах”.
Это — один из первых известных примеров системного мышления, когда множество зависимостей решается шаг за шагом, а не интуитивно.
📈 Две картины: строчная и столбцовая
Затем автор предлагает сменить взгляд.
Можно рассматривать уравнения построчно (row picture) — как пересечение линий на графике.
А можно постолбцово (column picture) — как комбинацию векторов.
💡 Это ключевая идея линейной алгебры:
всё, что раньше выглядело как набор чисел,
теперь становится векторами, которые можно складывать, растягивать и поворачивать.
📊 В строчном представлении — линии пересекаются в одной точке.
🏹 В столбцовом — векторы складываются “на глазах”, пока их сумма не укажет на целевую точку.
Бхаргава демонстрирует это визуально:
вектор «молоко» направлен вверх, вектор «хлеб» — вправо.
Три молока и один хлеб дают целевой вектор [5, 7] — нужный набор питательных элементов.
🧠 От интуиции к математике
Когда мы записываем задачу в виде:
x·[1, 2] + y·[2, 1] = [5, 7]
мы, по сути, описываем векторное пространство.
x и y — это веса, с которыми мы комбинируем базисные векторы [1, 2] и [2, 1].
🔢 В программировании это то же самое, что линейная комбинация массивов:
умножаем каждый элемент на коэффициент и складываем поэлементно:
3 * [1, 2] + 1 * [2, 1] = [5, 7]
Именно так работает линейная алгебра во всех ML-фреймворках — от PyTorch до TensorFlow.
То, что визуализирует Бхаргава, буквально лежит в основе нейронных сетей:
матрицы весов — это те самые векторы, просто собранные в большом масштабе.
🧩 Почему это важно
🎨 Иллюстративный подход Бхаргавы делает математику почти тактильной.
Он показывает, что за всеми символами скрыты геометрические отношения — а линейная алгебра, в сущности, это язык формы и направления.
👾 Именно поэтому она стала сердцем искусственного интеллекта:
- векторы представляют слова, изображения, звуки;
- матрицы трансформируют пространство признаков;
- а методы вроде SVD и PCA — это геометрические “лупы”, которые ищут смысл в данных.
💬 Моё мнение
Как человек, работающий с машинным обучением, я вижу в этой статье не просто вводный урок, а философию ясности: математика не обязана быть страшной. Линейная алгебра — это не про символы, а про движение, соотношение и баланс.
Когда ты видишь, как векторы складываются, чтобы достичь цели,
понимаешь, что это не только про числа — это про архитектуру мышления.
📘 Возможно, именно поэтому лучшие курсы по линейной алгебре (например, лекции Гилберта Странга) не учат вычислять, а учат видеть.
🔗 Источники
- Адитья Бхаргава — An Illustrated Introduction to Linear Algebra
- Gilbert Strang — MIT OpenCourseWare: Linear Algebra (YouTube)
- The Nine Chapters on the Mathematical Art (古代中国算术经典)