В задачах на идеальный газ часто требуется найти предельные значения параметров, при которых система остаётся в допустимых рамках — например, давление не превышает прочность сосуда. Сегодня мы решим задачу: при каком максимальном значении температуры газ имеет давление не более 900 000 Па, если известны его объём, количество вещества и газовая постоянная. Используем уравнение состояния идеального газа — уравнение Менделеева–Клапейрона — и найдём ответ в кельвинах.
Шаг 1. Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона
Для идеального газа:
pV = νRT
где:
- p — давление (Па),
- V — объём (м³),
- ν — количество вещества (моль),
- R — универсальная газовая постоянная, R = 8.31 Дж/(моль·К),
- T — абсолютная температура (К).
Шаг 2. Выпишем известные данные
- Объём: V = 0.0831 м³,
- Количество вещества: ν = 30 моль,
- Газовая постоянная: R = 8.31 Дж/(моль·К),
- Максимально допустимое давление: p = 900 000 Па.
Нужно найти максимальную температуру T, при которой давление не превысит это значение.
Шаг 3. Выразим температуру из уравнения
Из pV = νRT выразим T:
T = (pV) / (νR)
Поскольку давление не должно превышать 900 000 Па, максимальная температура достигается при p = 900 000 Па.
Шаг 4. Подставим числовые значения
T = (900 000 · 0.0831) / (30 · 8.31)
Выполним расчёт:
- Числитель: 900 000 · 0.0831 = 74 790,
- Знаменатель: 30 · 8.31 = 249.3,
- T = 74 790 / 249.3 = 300 К.
Шаг 5. Анализ результата
Максимальная температура, при которой давление газа не превысит 900 кПа, равна 300 К.
Это соответствует 27 °C — комнатной температуре. Таким образом, даже при умеренном нагреве давление в сосуде может достичь высоких значений, если количество газа велико, а объём мал.
Шаг 6. Проверка размерности
[pV] = Па · м³ = (Н/м²) · м³ = Н·м = Дж
[νR] = моль · Дж/(моль·К) = Дж/К
[T] = Дж / (Дж/К) = К — верно.
Шаг 7. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: забыть, что нужно использовать максимальное допустимое давление для нахождения максимальной температуры.
❌ Ошибка 2: перепутать местами ν и V в формуле.
❌ Ошибка 3: не проверить единицы измерения (все величины уже даны в СИ, перевод не требуется).
Шаг 8. Формулы для копирования
- p * V = nu * R * T
- T = (p * V) / (nu * R)
- R = 8.31 Дж/(моль·К)
Понимание уравнения состояния газа позволяет не только решать задачи, но и обеспечивать безопасность в реальных системах — от баллонов с газом до промышленных реакторов. А теперь представьте: вы смотрите на герметичный сосуд и думаете: «При 30 молях газа и объёме 83 литра давление превысит 900 кПа уже при 300 К!» Инженер рядом спрашивает: «Ты что, с газом разговариваешь?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверяю, чтобы T не превысило 300 К». Он смотрит на термометр… и включает систему охлаждения. Видимо, решил, что если вы считаете кельвины, то и он должен уважать физику.