Основное уравнение молекулярно-кинетической теории: как давление газа связано с движением молекул (МКТ)? Разбираем формулы p = nkT и p = (1/3)nm₀v²
Почему надутый шарик твёрдый? Почему пар в скороварке может поднять крышку? Ответ кроется в хаотическом движении миллиардов молекул, которые непрерывно бомбардируют стенки сосуда. Эта микроскопическая «бомбардировка» и создаёт давление — макроскопическую величину, которую мы измеряем манометром. Сегодня мы разберём основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) в двух эквивалентных формах:
p = n·k·T и p = (1/3)·n·m₀·v²,
поймём, как температура и скорость молекул связаны с давлением, и увидим, как одна формула объединяет микромир частиц и привычный нам мир газов.
Шаг 1. Что такое основное уравнение МКТ?
Это уравнение связывает макроскопические параметры газа (давление, температуру) с микроскопическими характеристиками молекул (их массой, скоростью, концентрацией).
Оно имеет две равноправные формы:
- p = n · k · T
- p = (1/3) · n · m₀ · v²
где:
- p — давление газа (Па),
- n — концентрация молекул (число молекул в 1 м³, м⁻³),
- k — постоянная Больцмана (1.38 × 10⁻²³ Дж/К),
- T — абсолютная температура (К),
- m₀ — масса одной молекулы (кг),
- v — среднеквадратичная скорость молекул (м/с).
Шаг 2. Физический смысл первой формы: p = n·k·T
Эта форма показывает, что давление пропорционально:
- концентрации молекул (чем их больше в объёме — тем чаще удары о стенку),
- температуре (чем выше T — тем быстрее молекулы → сильнее удары).
Это — микроскопический аналог уравнения Менделеева–Клапейрона.
Действительно, если умножить и разделить на Nₐ:
p = n·k·T = (N/V) · (R/Nₐ) · T = (ν·Nₐ / V) · (R/Nₐ) · T = (νRT)/V → pV = νRT.
Шаг 3. Физический смысл второй формы: p = (1/3)·n·m₀·v²
Эта форма выводится из механики столкновений:
- Каждая молекула, ударяясь о стенку, передаёт импульс,
- Суммарный эффект всех ударов за секунду и даёт давление.
Множитель 1/3 появляется из-за трёхмерности пространства: движение распределяется поровну по осям X, Y, Z.
Заметим: (1/2)m₀v² = Eₖ — средняя кинетическая энергия молекулы.
Тогда:
p = (2/3) · n · Eₖ
→ Давление пропорционально концентрации и средней кинетической энергии молекул.
Шаг 4. Связь между двумя формами
Приравняем правые части:
n·k·T = (1/3)·n·m₀·v²
Сократим n (n ≠ 0):
k·T = (1/3)·m₀·v² →
v² = 3kT / m₀ →
v = √(3kT / m₀)
Это — формула для среднеквадратичной скорости, которую мы уже встречали!
Шаг 5. Пример расчёта давления
В сосуде при температуре 300 К концентрация молекул азота n = 2.5 × 10²⁵ м⁻³. Найдите давление.
Дано:
n = 2.5e25 м⁻³
T = 300 К
k = 1.38e-23 Дж/К
Решение:
p = n·k·T = 2.5e25 · 1.38e-23 · 300
= 2.5e25 · 4.14e-21 = 1.035 × 10⁵ Па ≈ 103.5 кПа
Это — немного выше атмосферного давления (101.3 кПа), что вполне реалистично.
Шаг 6. Как найти концентрацию молекул?
Если известна плотность газа ρ или масса m в объёме V:
- Общее число молекул: N = (m / M) · Nₐ,
- Концентрация: n = N / V = (m · Nₐ) / (M · V) = ρ · Nₐ / M
где M — молярная масса, ρ = m/V — плотность.
Шаг 7. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: путать v (среднеквадратичную скорость) с средней арифметической скоростью.
→ В формуле обязательно v = √⟨v²⟩.
❌ Ошибка 2: забывать, что n — в м⁻³, а не в см⁻³.
→ 1 см⁻³ = 10⁶ м⁻³!
❌ Ошибка 3: использовать формулу для неидеальных газов или жидкостей.
→ Уравнение справедливо только для разреженных (идеальных) газов.
Шаг 8. Где применяется?
- Аэродинамика: расчёт давления в потоке газа.
- Плазменная физика: моделирование звёзд и термоядерных реакторов.
- Вакуумная техника: определение давления по концентрации частиц.
- Метеорология: понимание атмосферного давления на молекулярном уровне.
Шаг 9. Формулы для копирования
- p = n * k * T
- p = (1/3) * n * m_0 * v^2
- p = (2/3) * n * E_k
- v = sqrt(3 * k * T / m_0)
- n = N / V
- k = 1.38e-23 Дж/К
Основное уравнение МКТ — это великолепный пример того, как физика связывает невидимое (движение атомов) и ощутимое (давление в шине). Оно показывает: газ «давит» не потому, что он «хочет», а потому, что его молекулы летают со скоростью сотен метров в секунду и бьются о стенки. А теперь представьте: вы надуваете воздушный шар и думаете: «При 10²⁵ молекул в кубометре и T = 300 К давление — около 100 кПа». Друг спрашивает: «Ты что, давление на глаз определяешь?» — а вы отвечаете: «Нет, просто знаю, что p = nkT». Он смотрит на шарик… и вдруг выпускает немного воздуха. Видимо, решил, что вы слишком точно всё посчитали — и шарик вот-вот лопнет от избытка знаний.