Средняя кинетическая энергия молекул одноатомного газа: почему температура — это мера движения атомов? Разбираем формулу Eₖ = (3/2)·kT
Когда вы чувствуете, что чайник горячий, вы на самом деле ощущаете движение атомов внутри него. Чем выше температура — тем быстрее молекулы газа или жидкости мечутся в хаотическом танце. Но можно ли точно измерить энергию этого движения? Оказывается, да! Для одноатомного идеального газа (например, гелия, неона, аргона) средняя кинетическая энергия одной молекулы выражается простой и элегантной формулой: Eₖ = (3/2)·kT. Сегодня мы разберём, откуда берётся множитель 3/2, что такое постоянная Больцмана, и почему эта формула связывает микромир молекул с макромиром термометров.
Шаг 1. Что означает формула?
Формула:
Eₖ = (3/2) · k · T
где:
- Eₖ — средняя кинетическая энергия одной молекулы (в джоулях, Дж),
- k — постоянная Больцмана, k = 1.38 × 10⁻²³ Дж/К,
- T — абсолютная температура (в кельвинах, К).
Эта формула справедлива только для одноатомных газов, где молекулы — отдельные атомы, не имеющие внутренней структуры (нет вращения или колебаний).
Шаг 2. Почему именно 3/2?
Атом в пространстве может двигаться в трёх независимых направлениях:
- по оси X,
- по оси Y,
- по оси Z.
Согласно теореме о равнораспределении энергии, на каждую степень свободы приходится (1/2)kT кинетической энергии.
Три поступательные степени свободы →
Eₖ = 3 · (1/2)kT = (3/2)kT
Если бы молекула была двухатомной (например, O₂), у неё были бы ещё вращательные степени свободы, и формула изменилась бы. Но для гелия, неона, аргона — только поступательное движение.
Шаг 3. Что такое постоянная Больцмана?
Постоянная Больцмана k связывает энергию одной частицы с температурой системы:
k = R / Nₐ
где:
- R = 8.31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная,
- Nₐ = 6.022 × 10²³ моль⁻¹ — постоянная Авогадро.
Подставим:
k = 8.31 / 6.022e23 ≈ 1.38 × 10⁻²³ Дж/К
Таким образом, k — это «газовая постоянная на одну молекулу».
Шаг 4. Пример расчёта
Найдите среднюю кинетическую энергию атома гелия при комнатной температуре T = 293 К.
Дано:
T = 293 К
k = 1.38 × 10⁻²³ Дж/К
Решение:
Eₖ = (3/2) · k · T = 1.5 · 1.38e-23 · 293
= 1.5 · 4.0434e-21 ≈ 6.07 × 10⁻²¹ Дж
Это крошечная энергия, но умноженная на 10²³ атомов — даёт ощутимое тепло!
Шаг 5. Связь со скоростью молекул
Кинетическая энергия также выражается как:
Eₖ = (1/2) · m₀ · v²
где m₀ — масса одной молекулы.
Приравнивая:
(1/2) · m₀ · v² = (3/2) · k · T →
v = √(3kT / m₀)
Это — среднеквадратичная скорость молекул.
Пример для гелия (m₀ ≈ 6.64 × 10⁻²⁷ кг):
v = √(3 · 1.38e-23 · 293 / 6.64e-27) ≈ √(1.82e4) ≈ 1350 м/с — очень быстро!
Шаг 6. Почему температура измеряется в кельвинах?
Формула Eₖ = (3/2)kT требует абсолютной температуры.
- При T = 0 К (абсолютный нуль) → Eₖ = 0 → молекулы останавливаются (в идеале).
- В шкале Цельсия: 0 °C = 273 К, поэтому нельзя подставлять t в °C!
Шаг 7. Где применяется эта формула?
- Термодинамика: вывод уравнения состояния идеального газа.
- Астрофизика: расчёт температуры звёзд по движению частиц.
- Плазма: моделирование поведения ионизированных газов.
- Криогеника: понимание пределов охлаждения веществ.
Шаг 8. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: использовать формулу для двухатомных газов (O₂, N₂).
→ Для них Eₖ = (5/2)kT (с учётом вращения).
❌ Ошибка 2: подставлять температуру в градусах Цельсия.
→ Только кельвины!
❌ Ошибка 3: путать энергию одной молекулы с энергией моля газа.
→ Для 1 моля: Eₖ_моль = (3/2)RT (умножить на Nₐ).
Шаг 9. Формулы для копирования
- E_k = 1.5 * k * T
- k = 1.38e-23 Дж/К
- T(K) = t(°C) + 273
- v = sqrt(3 * k * T / m_0)
- E_k (на 1 моль) = 1.5 * R * T
Эта формула — мост между ощущением «тепло/холодно» и точной физикой хаотического движения атомов. Она показывает, что температура — не что-то абстрактное, а прямая мера кинетической энергии микромира. Без неё невозможно понять, почему газ давит на стенки, как работает холодильник или почему Солнце светит. А теперь представьте: вы держите баллон с гелием и думаете: «При 20°C каждый атом несёт 6×10⁻²¹ Дж кинетической энергии — и мчится со скоростью 1350 м/с!» Друг спрашивает: «Ты что, слышишь, как они гудят?» — а вы отвечаете: «Нет, но я чувствую их коллективный импульс». Он смотрит на баллон… и осторожно отодвигается. Вдруг атомы решат вырваться — со скоростью пули?