Когда тело движется по окружности, оно постоянно меняет направление, но при равномерном движении модуль его скорости остаётся неизменным. Эту скорость называют линейной или тангенциальной. Чтобы найти её, не обязательно знать силы или ускорения — достаточно понимать геометрию кругового движения. Сегодня мы выведем и объясним формулу, связывающую скорость тела с радиусом окружности и периодом обращения: v = 2πR / T. Эта формула — основа для анализа всего, что вращается: от колёс велосипеда до орбит спутников.
Шаг 1. Что такое период обращения?
Период обращения (T) — это время, за которое тело совершает один полный оборот вокруг окружности.
Единица измерения: секунды (с).
Пример: если карусель делает один круг за 10 секунд, то T = 10 с.
Шаг 2. Какой путь проходит тело за один оборот?
За один полный оборот тело проходит расстояние, равное длине окружности.
Длина окружности вычисляется по формуле:
L = 2πR
где:
- R — радиус окружности (в метрах, м),
- π ≈ 3.1416 — математическая константа.
Шаг 3. Связь пути, времени и скорости
Скорость при равномерном движении определяется как отношение пройденного пути ко времени движения:
v = S / t
В случае одного полного оборота:
- пройденный путь S = 2πR,
- время движения t = T.
Подставляем:
v = (2πR) / T
Шаг 4. Итоговая формула
Таким образом, линейная скорость тела, движущегося по окружности, выражается через радиус и период как:
v = 2πR / T
где:
- v — линейная скорость (м/с),
- R — радиус окружности (м),
- T — период обращения (с).
Шаг 5. Пример расчёта
Спутник движется по круговой орбите радиусом 7000 км и совершает один оборот за 5800 секунд. Найдите его скорость.
Дано:
R = 7000 км = 7 000 000 м
T = 5800 с
Решение:
v = 2πR / T = (2 · 3.1416 · 7 000 000) / 5800
≈ (43 982 400) / 5800 ≈ 7583 м/с
Ответ: скорость спутника ≈ 7.6 км/с — типичная орбитальная скорость!
Шаг 6. Связь с другими величинами
Если известна частота вращения ν (число оборотов в секунду), то, так как ν = 1 / T, формула принимает вид:
v = 2πRν
Также скорость связана с угловой скоростью ω:
v = ωR, где ω = 2π / T.
Шаг 7. Проверка размерности
[R] = м
[T] = с
[2π] — безразмерна
Тогда: [v] = м / с — верно, это единица скорости.
Шаг 8. Где применяется эта формула?
- Астрономия: расчёт орбитальных скоростей планет и спутников.
- Техника: определение скорости точек на ободе колеса, диска, турбины.
- Быт: скорость вращения барабана стиральной машины, лопастей вентилятора.
- Спорт: анализ движения на треке, в фигурном катании, на велотреке.
Шаг 9. Формулы для копирования
- v = 2 * pi * R / T
- v = 2 * pi * R * nu
- v = omega * R
- T = 2 * pi * R / v
- R = v * T / (2 * pi)
Понимание связи между скоростью, радиусом и периодом — это ключ к описанию любого кругового движения. Без этой формулы невозможно спроектировать ни один механизм с вращающимися частями, ни запустить спутник на орбиту. А теперь представьте: вы смотрите на вращающуюся тарелку в микроволновке и думаете: «Если диаметр 30 см, а период 5 секунд, то скорость края — около 0.19 м/с!» Друг спрашивает: «Ты что, микроволновку калибуруешь?» — а вы отвечаете: «Нет, просто проверяю, хватит ли центростремительного ускорения, чтобы не сбросить котлету». Он смотрит на тарелку… и в следующий раз кладёт еду ближе к центру. Видимо, решил, что физика на кухне — это серьёзно.