Вы когда-нибудь сжимали пружину в руке и чувствовали, как она «напрягается», готовая вырваться? Или видели, как игрушечная машинка, заведённая ключом, мчится по полу? Всё это — работа потенциальной энергии упругой деформации. Эта энергия накапливается в пружине, резинке или любом упругом теле при растяжении или сжатии и может быть позже превращена в движение. Сегодня мы разберём формулу Eₚ = kx²/2, поймём, откуда берётся квадрат, как она связана с законом Гука, и увидим, где эта энергия работает — от механических часов до арбалетов.
Шаг 1. Что такое потенциальная энергия упругой деформации?
Это энергия, запасённая в теле в результате его упругой деформации (растяжения или сжатия). Она возникает за счёт работы, совершённой против силы упругости.
Формула:
Eₚ = (1/2) · k · x²
где:
- Eₚ — потенциальная энергия (в джоулях, Дж),
- k — коэффициент жёсткости пружины (в Н/м),
- x — величина деформации (удлинение или сжатие) относительно недеформированного состояния (в метрах, м).
Шаг 2. Откуда берётся множитель 1/2?
Сила упругости не постоянна: по закону Гука F = k·x, и она растёт пропорционально деформации.
Поэтому работа, совершённая при растяжении от 0 до x, равна площади под графиком F(x) — это треугольник:
A = (1/2) · основание · высота = (1/2) · x · (k·x) = (1/2)kx²
Эта работа и переходит в потенциальную энергию:
Eₚ = A = (1/2)kx²
Если бы сила была постоянной, множителя 1/2 не было бы. Но поскольку сила растёт от 0 до kx, средняя сила — (0 + kx)/2 = kx/2, отсюда и появляется ½.
Шаг 3. Пример расчёта
Пружину жёсткостью k = 200 Н/м сжали на 10 см. Найдите её потенциальную энергию.
Дано:
k = 200 Н/м
x = 10 см = 0.1 м
Решение:
Eₚ = 0.5 · k · x² = 0.5 · 200 · (0.1)² = 100 · 0.01 = 1 Дж
Этой энергии хватит, чтобы поднять груз массой 100 г на высоту 1 м (поскольку mgh = 0.1·9.8·1 ≈ 1 Дж).
Шаг 4. Связь с законом сохранения энергии
Если пружина толкает тело, её потенциальная энергия превращается в кинетическую:
Eₚ (пружины) = Eₖ (тела) → (1/2)kx² = (1/2)mv²
Отсюда скорость тела после «выстрела»:
v = x · √(k/m)
Пример:
k = 400 Н/м, x = 0.05 м, m = 0.1 кг
v = 0.05 · √(400 / 0.1) = 0.05 · √4000 ≈ 0.05 · 63.25 ≈ 3.16 м/с
Шаг 5. Важные особенности формулы
- x — это модуль деформации, не важно, растяжение или сжатие.
- Энергия всегда положительна, даже если x отрицательно (ведь x² > 0).
- Энергия растёт пропорционально квадрату деформации: Удвоили x → энергия увеличилась в 4 раза!
Утроили x → энергия — в 9 раз!
Это делает сильно сжатые пружины очень опасными.
Шаг 6. Где применяется в жизни?
- Механические часы: заведённая пружина медленно отдаёт энергию.
- Арбалеты и луки: энергия изогнутой дуги передаётся стреле.
- Амортизаторы: поглощают кинетическую энергию удара, временно запасая её как Eₚ.
- Игрушки: пружинные прыгающие лягушки, заводные машинки.
- Сейсмографы: используют пружины для регистрации колебаний.
Шаг 7. Сравнение с потенциальной энергией в поле тяжести
Квадратичная зависимость делает упругую энергию особенно чувствительной к небольшим изменениям x.
Шаг 8. Распространённые ошибки
❌ Ошибка 1: забывать множитель 1/2.
→ Это не Eₚ = kx², а Eₚ = ½kx²!
❌ Ошибка 2: подставлять x в сантиметрах без перевода в метры.
→ k в Н/м, x обязательно в метрах!
❌ Ошибка 3: думать, что формула работает при любых деформациях.
→ Только в пределах закона Гука (упругая область)!
Шаг 9. Формулы для копирования
- Eₚ = 0.5 * k * x²
- x — деформация (м)
- k — жёсткость (Н/м)
- При переходе в кинетическую энергию: 0.5 * k * x² = 0.5 * m * v²
- Скорость после «выстрела»: v = x * sqrt(k / m)
Потенциальная энергия упругой деформации — это скрытая мощь, запертая в изгибе, сжатии или растяжении. Она не требует топлива, не шумит, но способна запустить механизм, выстрелить стрелу или просто заставить игрушку прыгать по комнате. А теперь представьте: вы сжимаете пружину в ладони и думаете: «При x = 0.05 м и k = 500 Н/м у меня уже 0.625 Дж — хватит, чтобы запустить бумажный самолётик на другой конец комнаты!» Друг спрашивает: «Что ты там щёлкаешь?» — а вы серьёзно отвечаете: «Накапливаю потенциал. Скоро будет запуск». Он отступает на шаг… на всякий случай. Вдруг вы правы?