Любое чётное число больше 2 можно представить как сумму двух простых. Эта фраза помещается в одну строку, её понимает школьник, но доказательства никто так и не нашёл. Её называют сильной гипотезой Гольдбаха. Есть ещё слабая (тернарная) версия: каждое нечётное число больше 5 - сумма трёх простых. В 2013 году слабую гипотезу доказали, а вот сильная остаётся не доказанной до сих пор. Ниже разберём, почему формулировка кажется правдоподобной, какие инструменты под неё точили, что именно удалось доказать и почему задача не доказана.
Исторический контекст
Христиан Гольдбах сформулировал идею в переписке с Эйлером в XVIII веке. Эйлер сразу почувствовал в ней истину: числовая интуиция подсказывала, что чётные числа буквально окружены простыми парами.
Но интуиция это одно, а строгая математика - совсем другое. На рубеже XIX–XX веков Давид Гильберт включил задачи о простых в легендарный список проблем века, и интерес к гипотезе резко вырос. Параллельно созревали инструменты аналитической теории чисел: идеи распределения простых, ζ-функции Римана, оценок экспоненциальных сумм.
Сильная гипотеза vs слабая
Сильная:
каждое чётное n > 2 сумма двух простых p + q = n
Слабая:
каждое нечётное n > 5 сумма трёх простых p + q + r = n
Сильная доказывается слабую: если любое чётное распадается на два простых, то к любому нечётному добавляем 3 и получаем чётное, которое уже раскладывается на два простых. Обратное неверно: даже если каждое нечётное — сумма трёх простых, не следует, что каждое чётное — сумма двух.
Почему это правдоподобно
Если взять большое число N, то шансы, что случайное число рядом с ним простое, примерно 1 / ln N - это стандартная эвристика Харди–Литтлвуда. Теперь хотим посчитать, сколько способов можно представить чётное число 2N как сумму двух простых a и b (то есть a + b = 2N). Если считать, что «простота» чисел ведёт себя независимо (что, конечно, не совсем правда), то вероятность, что оба — простые, примерно
(1 / ln N)².
Таких пар (a, b) — порядка N штук (ведь a может быть от 1 до N), значит ожидаемое число разложений должно расти примерно как
константа × N / (ln N)².
Эта константа — не просто число, а выражается через так называемый сингулярный ряд: поправочный коэффициент, учитывающий, что не все остатки по модулям одинаково подходят для простых (некоторые комбинации модулей «запрещены»).
Символически это выглядит так:
где r₂(2N) — число представлений 2N в виде суммы двух простых с учётом порядка, а S(2N)— сингулярный ряд, зависящий от остаточной структуры 2N по малым модулям. Эта формула потрясающе хорошо согласуется с вычислительными данными на огромных диапазонах. На визуализациях получается «комета Гольдбаха»: плотный хвост значений r₂(2N), плавно растущий и слегка «полосатый» из-за влияния S(2N)
Круговой метод: взгляд на сумму простых «из орбиты»
Харди и Литтлвуд предложили круговой метод — технику, которая переводит задачу о представлениях числа в интеграл от экспоненциальных сумм. Идея начинается с простой ортогональности на единичной окружности:
Если взять S(α)=∑_{p\le n} e^{2πi p α}, то число представлений нечётного n как суммы трёх простых выражается так:
Дальше круг [0,1] по α делят на «большие дуги» и «малые дуги». На больших дугах α близко к рациональным числам с малым знаменателем, и там S(α) имеет большую амплитуду: простые «слаженно» интерферируют. На малых дугах происходит почти полная деструкция, и вклад оказывается малым. Если удаётся показать, что главный вклад больших дуг превосходит ошибку малых, то r_3(n) ≥ 1 для всех достаточно больших n, то есть слабая гипотеза верна «начиная с некоторого места».
Прорывы и уточнения
В 1937 году Виноградов доказал слабую гипотезу для всех достаточно больших нечётных чисел, не опираясь на обобщённую гипотезу Римана. Но результат был неэффективным: «достаточно большое» без явной границы. В течение XX века математики ужимали эту границу, совмещая аналитические оценки и массивные вычисления. В 2013 году Харальд Хельфготт довёл программу до логического конца: слабая гипотеза Гольдбаха доказана для всех нечётных n > 5, причём с эффективной проверкой конечного остатка диапазона на компьютерах. Это был грандиозный финиш столетнего марафона.
Теорема Чэня: почти сильная Гольдбаха
Сильная гипотеза остаётся открытой, но в 1973 году Чэнь Цзинжун получил выдающийся «почти результат»: любое достаточно большое чётное число — сумма простого и полупростого (произведения двух простых). С тех пор границы «достаточно большого» и некоторые аспекты структуры улучшались, но полностью заменить полупростое на простое пока не удаётся.
Вычислительная сторона
Если сильная гипотеза ложна, должен существовать контрпример — чётное число, которое нельзя представить суммой двух простых. Тогда r₂(2N) упадёт до нуля. На реальных данных мы видим обратное: число представлений растёт и колеблется вокруг кривой ~N/(ln N)^2, а сингулярный ряд объясняет «зубчатость». Параллельно расширяются пределы прямой проверки: современные вычисления проверили колоссальные диапазоны, и ни единого контрпримера не найдено. Но бесконечность длиннее любой проверки, поэтому вычислительные факты поддерживают эвристику, не заменяя доказательства.
Итог
Гипотеза Гольдбаха — пример того, как короткая фраза ведёт к столетию техники, эвристик и вычислений. Слабый вариант закрыт, сильный ждёт своего метода. По всем приметам гипотеза верна: и эвристики, и данные, и близкие теоремы указывают в одну сторону. Но в математике «похоже» не считается. Нужна идея, которая поставит точку. И она где-то рядом, среди α, экспоненциальных сумм и ещё не придуманных трюков.
Наш Telegram-канал
В нашем канале проводим розыгрыши за решение математических задач, пишем подобные статьи и кидаем цитаты и мемы. Заходи!