В материале
представлен теоретический материал по нечётким числам.
Для закрепления теоретических сведений предлагается выполнение следующего Упражнения:
Задан универсум X = {-1.0, -0.9, -0.8, ..., 0.8, 0.9, 1.0} (всего 21 элемент, для удобства включено значение, равное 0).
Форма: Преимущественно треугольные и трапециевидные нечёткие числа, а также несколько специальных форм (Z, S, Pi).
30 Вариантов нечётких чисел:
Группа 1: Треугольные нечёткие числа (чётко определённый максимум)
Вариант 1. «Примерно ноль»
Ядро: {-0.1, 0.0, 0.1}
Носитель: {-0.2, -0.1, 0.0, 0.1, 0.2}
А = {(-1.0; 0.0), (-0.9; 0.0), (-0.8; 0.0), (-0.7; 0.0), (-0.6; 0.0), (-0.5; 0.0), (-0.4; 0.0), (-0.3; 0.0), (-0.2; 0.5), (-0.1; 1.0), (0.0; 1.0), (0.1; 1.0), (0.2; 0.5), (0.3; 0.0), (0.4; 0.0), (0.5; 0.0), (0.6; 0.0), (0.7; 0.0), (0.8; 0.0), (0.9; 0.0), (1.0; 0.0)}
Вариант 2. «Приблизительно 0.5»
Ядро: {0.4, 0.5, 0.6}
Носитель: {0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7}
А = {..., (0.3; 0.5), (0.4; 1.0), (0.5; 1.0), (0.6; 1.0), (0.7; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 3. «Отрицательная малая величина» (около -0.5)
Ядро: {-0.6, -0.5, -0.4}
Носитель: {-0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3}
А = {..., (-0.7; 0.5), (-0.6; 1.0), (-0.5; 1.0), (-0.4; 1.0), (-0.3; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 4. «Сильно положительное» (около 0.8)
Ядро: {0.7, 0.8}
Носитель: {0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0}
А = {..., (0.5; 0.3), (0.6; 0.5), (0.7; 1.0), (0.8; 1.0), (0.9; 0.5), (1.0; 0.3)} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 5. «Слабо отрицательное» (около -0.2)
Ядро: {-0.3, -0.2, -0.1}
Носитель: {-0.4, -0.3, -0.2, -0.1, 0.0}
А = {..., (-0.4; 0.5), (-0.3; 1.0), (-0.2; 1.0), (-0.1; 1.0), (0.0; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 2: Трапециевидные нечёткие числа (интервал максимумов)
Вариант 6. «Небольшое положительное число» (от 0.1 до 0.3)
Ядро: {0.1, 0.2, 0.3}
Носитель: {0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4}
А = {..., (0.0; 0.5), (0.1; 1.0), (0.2; 1.0), (0.3; 1.0), (0.4; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 7. «Среднее отрицательное число» (от -0.7 до -0.4)
Ядро: {-0.7, -0.6, -0.5, -0.4}
Носитель: {-0.9, -0.8, -0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3}
А = {..., (-0.9; 0.25), (-0.8; 0.5), (-0.7; 1.0), (-0.6; 1.0), (-0.5; 1.0), (-0.4; 1.0), (-0.3; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 8. «Значение в районе нуля» (от -0.1 до 0.1)
Ядро: {-0.1, 0.0, 0.1}
Носитель: {-0.3, -0.2, -0.1, 0.0, 0.1, 0.2, 0.3}
А = {..., (-0.3; 0.33), (-0.2; 0.67), (-0.1; 1.0), (0.0; 1.0), (0.1; 1.0), (0.2; 0.67), (0.3; 0.33), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 9. «Почти единица» (от 0.7 до 1.0)
Ядро: {0.7, 0.8, 0.9, 1.0}
Носитель: {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0}
А = {..., (0.5; 0.33), (0.6; 0.67), (0.7; 1.0), (0.8; 1.0), (0.9; 1.0), (1.0; 1.0)} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 10. «Почти минус единица» (от -1.0 до -0.7)
Ядро: {-1.0, -0.9, -0.8, -0.7}
Носитель: {-1.0, -0.9, -0.8, -0.7, -0.6, -0.5}
А = {(-1.0; 1.0), (-0.9; 1.0), (-0.8; 1.0), (-0.7; 1.0), (-0.6; 0.67), (-0.5; 0.33), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 3: Асимметричные треугольные нечёткие числа
Вариант 11. «Скорее положительное, чем отрицательное» (быстрый рост, медленный спад)
Ядро: {0.2}
Носитель: {-0.1, 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}
А = {..., (-0.1; 0.17), (0.0; 0.33), (0.1; 0.67), (0.2; 1.0), (0.3; 0.8), (0.4; 0.6), (0.5; 0.4), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 12. «Риск отрицательного значения» (медленный рост, быстрый спад)
Ядро: {-0.3}
Носитель: {-0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3, -0.2, -0.1}
А = {..., (-0.7; 0.4), (-0.6; 0.6), (-0.5; 0.8), (-0.4; 0.9), (-0.3; 1.0), (-0.2; 0.5), (-0.1; 0.0), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 4: Z-образные нечёткие числа (для малых значений)
Вариант 13. «Очень маленькое число» (Z-число около -0.7)
А = {(-1.0; 1.0), (-0.9; 1.0), (-0.8; 1.0), (-0.7; 1.0), (-0.6; 1.0), (-0.5; 1.0), (-0.4; 0.8), (-0.3; 0.6), (-0.2; 0.4), (-0.1; 0.2), (0.0; 0.0), ...} (Спадает от 1.0 на -1.0 до 0.0 на 0.0, все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 14. «Определённо отрицательное» (Z-число около -0.9)
А = {(-1.0; 1.0), (-0.9; 1.0), (-0.8; 1.0), (-0.7; 1.0), (-0.6; 0.9), (-0.5; 0.8), (-0.4; 0.5), (-0.3; 0.2), (-0.2; 0.0),...} (Спадает от 1.0 на -1.0 до 0.0 на -0.2, все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 5: S-образные нечёткие числа (для больших значений)
Вариант 15. «Заметно положительное» (S-число около 0.5)
А = {…, (0.1; 0.0), (0.2; 0.2), (0.3; 0.5), (0.4; 0.8), (0.5; 1.0), (0.6; 1.0), (0.7; 1.0), (0.8; 1.0), (0.9; 1.0), (1.0; 1.0)} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 16. «Явно отрицательное» (S-число около -0.9)
А = {(-1.0; 1.0), (-0.9; 1.0), (-0.8; 0.8), (-0.7; 0.5), (-0.6; 0.2), (-0.5; 0.0), (-0.4; 0.0), (-0.3; 0.0), …}(все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 6: Π-образные числа (колоколообразные, интервал максимума)
Вариант 17. «Стабильное значение около нуля»
Ядро: {-0.1, 0.0, 0.1}
А = {..., (-0.4; 0.2), (-0.3; 0.5), (-0.2; 0.8), (-0.1; 1.0), (0.0; 1.0), (0.1; 1.0), (0.2; 0.8), (0.3; 0.5), (0.4; 0.2), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 18. «Центральное значение» (около 0.5)
Ядро: {0.4, 0.5, 0.6}
А = {..., (0.1; 0.2), (0.2; 0.5), (0.3; 0.8), (0.4; 1.0), (0.5; 1.0), (0.6; 1.0), (0.7; 0.8), (0.8; 0.5), (0.9; 0.2), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Группа 7: Специальные и составные формы нечётких чисел
Вариант 19. «Строго положительное» (усечённое)
Ядро: {0.3, 0.4, 0.5}
Носитель: {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6}
А = {..., (0.1; 0.25), (0.2; 0.5), (0.3; 1.0), (0.4; 1.0), (0.5; 1.0), (0.6; 0.5), (0.7; 0.0), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 20. «Двойной пик» (бимодальное, например, «либо отрицательное, либо положительное»)
Ядро: {-0.7, -0.6, 0.6, 0.7}
А = {..., (-0.8; 0.5), (-0.7; 1.0), (-0.6; 1.0), (-0.5; 0.5), ... , (0.5; 0.5), (0.6; 1.0), (0.7; 1.0), (0.8; 0.5), ...} (минимум в нуле) (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 21. «Плоское число» (постоянное среднее значение на интервале)
Ядро: {} (пустое)
Носитель: {-0.5, -0.4, -0.3, -0.2}
А = {..., (-0.5; 0.6), (-0.4; 0.6), (-0.3; 0.6), (-0.2; 0.6), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 22. «Остроконечное число» (очень узкий носитель)
Ядро: {0.7}
Носитель: {0.6, 0.7, 0.8}
А = {..., (0.6; 0.5), (0.7; 1.0), (0.8; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 23. «Пологое число» (очень широкий носитель)
Ядро: {-0.1, 0.0, 0.1}
Носитель: [-1.0; 1.0]
А = {(-1.0; 0.1), (-0.9; 0.2), (-0.8; 0.3), (-0.7; 0.4), (-0.6; 0.5), (-0.5; 0.6), (-0.4; 0.7), (-0.3; 0.8), (-0.2; 0.9), (-0.1; 1.0), (0.0; 1.0), (0.1; 1.0), (0.2; 0.9), (0.3; 0.8), (0.4; 0.7), (0.5; 0.6), (0.6; 0.5), (0.7; 0.4), (0.8; 0.3), (0.9; 0.2), (1.0; 0.1)}
Вариант 24. «Ноль с шумом» (почти чёткое число 0)
Ядро: {0.0}
Носитель: {-0.1, 0.0, 0.1}
А = {..., (-0.1; 0.1), (0.0; 1.0), (0.1; 0.1), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 25. «Положительная константа» (около 0.9)
Ядро: {0.9}
Носитель: {0.7, 0.8, 0.9, 1.0}
А = {..., (0.7; 0.33), (0.8; 0.67), (0.9; 1.0), (1.0; 0.67)} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 26. «Отрицательная константа» (около -0.9)
Ядро: {-0.9}
Носитель: {-1.0, -0.9, -0.8, -0.7}
А = {(-1.0; 0.67), (-0.9; 1.0), (-0.8; 0.67), (-0.7; 0.33), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 27. «Симметричное относительно 0.5»
Ядро: {0.4, 0.5, 0.6}
Носитель: {0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7}
А = {..., (0.3; 0.5), (0.4; 1.0), (0.5; 1.0), (0.6; 1.0), (0.7; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 28. «Симметричное относительно -0.5»
Ядро: {-0.6, -0.5, -0.4}
Носитель: {-0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3}
А = {..., (-0.7; 0.5), (-0.6; 1.0), (-0.5; 1.0), (-0.4; 1.0), (-0.3; 0.5), ...} (все остальные значения ФП = 0.0)
Вариант 29. «Экспоненциальное затухание от 0»
(Нестандартная форма) Степень принадлежности убывает по мере удаления от 0.
Ядро: {0.0}
А = {(-1.0; 0.1), (-0.9; 0.15), (-0.8; 0.2), (-0.7; 0.3), (-0.6; 0.4), (-0.5; 0.5), (-0.4; 0.6), (-0.3; 0.7), (-0.2; 0.8), (-0.1; 0.9), (0.0; 1.0), (0.1; 0.9), ...} (симметрично). Все остальные значения ФП = 0.0.
Вариант 30. «Случайное нечёткое число»
(Для экспериментов) Задайте случайные значения функции принадлежности от 0 до 1 для каждой точки универсума, например: А = {(-1.0; 0.12), (-0.9; 0.45), (-0.8; 0.87), ..., (0.9; 0.33), (1.0; 0.71)}. Все пропущенные элементы универсума имеют значения ФП = 0.0)
Требуется выполнить следующие задания:
1. Визуализация: Постройте графическое представление нечёткого числа (по вариантам). Это поможет интуитивно понять их форму.
2. Операции: Определите унарные операции для нечёткого числа (по вариантам).
3. Анализ: Проанализируйте, как форма нечёткого числа влияет на результат операций. Например, асимметричные числа дают асимметричные результаты.