Итак, друзья, реализую давний запрос на решение олимпиадной задачи.
Каждый день Алла Анатольевна ставила по 19 хороших оценок. Плохих оценок она не ставила. В результате оказалось, что у каждого из 25 учеников в классе либо 7, либо 9 хороших оценок. Сколько дней длилась щедрая акция от Аллы Анатольевны? Сколько учеников получили 9 хороших оценок?
I. Сначала возьмём в работу условие: 25 учеников получили либо 7 оценок, либо 9. Найдём наименьшее и наибольшее количество оценок, которое могла поставить Алла Анатольевна:
25 · 7 = 175 — наименьшее количество оценок;
25 · 9 = 225 — наибольшее количество оценок.
Итак, Алла Анатольевна поставила от 175 до 225 оценок.
Теперь смотрим, число оценок должно поделиться на 19. В найденном диапазоне — это числа 190 и 209.
II. Допустим, Алла Анатольевна поставила 190 оценок.
Здесь мы получаем задачу типа «головы – ноги». 25 учеников (это «головы»), получили всего 190 оценок, и каждый ученик получил или 7 оценок, или 9 (это ноги).
Обычно я разбираю с учениками эти задачи так: пусть все 25 учеников получили по 7 оценок. Тогда всего было бы 175 оценок. Нам не хватает 15 оценок. Мы должны раздать эти 15 оценок ученикам, так, чтобы некоторые получили не по 7, а по 9, то есть добавить по две оценки. Эта ситуация невозможна, ведь 15 не делится без остатка на 2. Значит, учительница не могла поставить 190 оценок.
III. Допустим теперь, что Алла Анатольевна поставила 209 оценок. Снова рассуждаем следующим образом: пусть все 25 учеников получили по 7 оценок. Тогда всего было бы 175 оценок. Не хватает 34 оценки. Значит, добавляем некоторым ученикам по 2 оценки: 34 : 2 = 17 — столько детей получили по 9 оценок.
Отвечаем на вопрос, сколько дней длилась щедрая акция от щедрой учительницы:
209 : 19 = 11 (д.).
Резюмируем: на первом шаге мы определили диапазон числа оценок и выбрали из этого диапазона те числа, которые делятся на 19. На втором шаге мы рассмотрели две задачи типа «головы – ноги».