Квадратные уравнения появились еще в древнем Египте и Индии. Существовало много способов их решения, первые из которых были в древнем Вавилоне.
Но сегодня мы затронем только один способ решения уравнений, который используется и по сей день.
Уже с 19 века пользуются некоторой величиной для решения квадратных уравнений вида
где x — переменная; a, b и c – некоторые коэффициенты.
Эта некоторая величина называется — дискриминант.
Немецкий математик Гаусс выделил его отдельной формулой в 19 веке, а термин «дискриминант» ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр в 1851 году.
И дал он следующее определение дискриминанта:
Дискриминант однородной формы (многочлена) — это результат этой формы и её производной.
Я думаю, что читатели из этого определения ничего не поняли:)
Немного поясню: отталкиваясь от этого произведения, можно взять квадратный многочлен и вычислить его производную. Потом с помощью определителя их матрицы можно вычислить ту самую формулу дискриминанта.
Это уже тема касающаяся высшей математики, поэтому упустим подробности доказательства.
Ту формулу, которой пользуются миллионы школьников, да и не только они, вывел Исаак Ньютон и его сподвижники, работая над решением квадратных уравнений.
Дискриминант можно получить в квадратном уравнении через метод выделения полного квадрата.
1. Запишем уравнение в стандартной форме:
2. Поделим уравнение на коэффициент а при х2:
3. Выделим полный квадрат. Для этого добавим и вычтем (b/2a)² в левой части уравнения. Для полного квадрата нам не хватает удвоенного произведения, поэтому умножим и разделим b/a на 2, получим 2 ⋅ b/2a. То есть
преобразуем и перенесем - (b/2a)² + c/a в другую сторону, получим
4. Приведем к общему знаменателю вторую часть:
5. Избавимся от квадрата в левой части уравнения, возведя в корень обе части (не забудем про то, что левая часть раскроется с модулем, следовательно, мы получим два случая):
6. А далее мы можем выразить x, это и будут решения исходного квадратного уравнения:
Выражение, находящееся под корнем, и будет являться дискриминантом!
Я думаю многие помнят, что есть три условия существования корней. Когда дискриминант меньше, равен или больше нуля. Из последней совокупности становится понятно, откуда взялись эти условия.
Поскольку подкоренное выражение не может быть меньше нуля, значит, если дискриминант меньше нуля, решений не будет.
Если дискриминант будет равен нулю, то первый и второй корень становятся одинаковыми, следовательно, решение будет единственным.
И если дискриминант будет больше нуля, то решений будет два.
Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авито.