Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня задача на движение тела, брошенного под углом к горизонту, в которой мы определим высоту, на которой вектор скорости образует заданный угол с горизонтом. Эта задача требует понимания того, как горизонтальная и вертикальная компоненты скорости изменяются со временем, и как их соотношение определяет направление движения. Мы воспользуемся тем, что горизонтальная скорость постоянна, а вертикальная — уменьшается под действием силы тяжести.
Тело брошено со скоростью v0 = 50 м=с под углом α = 45° к горизонту. На какой высоте h будет тело в тот момент, когда его скорость будет направлена под углом = 30° к горизонту?
Условие задачи:
- Начальная скорость: v₀ = 50 м/с
- Угол броска: α = 45°
- В некоторый момент скорость направлена под углом β = 30° к горизонту
- Требуется найти высоту h в этот момент
- Ускорение свободного падения: g = 10 м/с²
Шаг 1. Компоненты начальной скорости
- v₀ₓ = v₀ cosα = 50 · cos45° = 50 · (√2/2) ≈ 50 · 0,7071 ≈ 35,355 м/с
- v₀y = v₀ sinα = 50 · sin45° = 35,355 м/с
Горизонтальная компонента остаётся постоянной:
vₓ = v₀ₓ = 35,355 м/с
Шаг 2. Условие для угла 30°
В момент, когда скорость направлена под углом β = 30° к горизонту:
tanβ = v_y / vₓ
→ v_y = vₓ · tanβ = vₓ · tan30°
tan30° = 1/√3 ≈ 0,5774
→ v_y = 35,355 · (1/√3) ≈ 35,355 / 1,732 ≈ 20,412 м/с
(Но можно оставить в точном виде.)
Шаг 3. Находим время до этого момента
Вертикальная скорость изменяется по закону:
v_y = v₀y – g t
→ t = (v₀y – v_y) / g
Подставим точные выражения:
v₀y = v₀ / √2
v_y = v₀ / √2 · (1/√3) = v₀ / √6
→ t = (v₀ / √2 – v₀ / √6) / g = (v₀ / g) (1/√2 – 1/√6)
Но можно перейти сразу к высоте.
Шаг 4. Находим высоту через кинематическую формулу
Используем формулу, не содержащую времени:
v_y² = v₀y² – 2 g h
→ h = (v₀y² – v_y²) / (2g)
Подставим:
v₀y² = (50² · sin²45°) = 2500 · (1/2) = 1250
v_y² = (vₓ · tan30°)² = (v₀ cos45° · tan30°)²
= (50 · √2/2 · 1/√3)² = (25√2 / √3)² = 625 · 2 / 3 = 1250 / 3 ≈ 416,67
Тогда:
h = (1250 – 1250/3) / (2 · 10) = ( (3750 – 1250) / 3 ) / 20 = (2500 / 3) / 20 = 2500 / 60 ≈ 41,67 м
Точнее:
h = (1250 (1 – 1/3)) / 20 = (1250 · 2/3) / 20 = (2500 / 3) / 20 = 125 / 3 ≈ 41,67 м
Шаг 5. Проверка через энергию (альтернативно)
Можно также использовать:
h = (v₀y² – v_y²) / (2g) — то же самое.
Всё сходится.
Окончательный ответ:
Тело будет на высоте h = 125/3 ≈ 41,7 метров.
Почему это важно?
Эта задача показывает, что направление скорости — это «моментальный снимок» баланса между инерцией (горизонтальное движение) и гравитацией (вертикальное торможение). Чем выше тело, тем меньше вертикальная скорость, и тем ближе вектор скорости к горизонтали.
Физический вывод: высоту можно найти через разность квадратов вертикальных скоростей, не вычисляя время.
Представьте, что вы — снаряд, вылетевший под 45°. В начале вы «смотрите в небо» под 45°, но по мере подъёма ваш взгляд «опускается». Когда вы смотрите под 30°, вы уже на высоте 42 метров — это как 14-этажный дом! Так что, друзья, в жизни, как и в полёте, ваш «угол взгляда» на мир меняется с высотой — и физика точно знает, на какой высоте вы начнёте смотреть под 30° 😉.