Задача №395: Движение по закону y(t) = 7 + 4t − 2t² — полный разбор

Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня задача, в которой мы проведём полный кинематический анализ движения тела, заданного зависимостью координаты от времени. Мы найдём начальную скорость, ускорение, закон изменения скорости, координату, перемещение и даже путь — а это уже требует особого внимания, потому что путь и перемещение не всегда совпадают! Эта задача — отличная тренировка для понимания разницы между векторными и скалярными величинами в кинематике.

Условие задачи:

Координата тела меняется с течением времени согласно закону y = 7 + 4t − 2t², где все величины выражены в СИ.
1. Определите начальную проекцию скорости v0y этого тела.
2. Определите проекцию ускорения ay для этого тела.
3. Чему равна координата тела y0 в момент начала движения?
4. По какому закону меняется проекция скорости vy этого тела?
5. Чему равна координата тела через 2 с после начала движения?
6. Какое перемещение совершит тело за 2 с?
7. Какой путь пройдёт тело за 2 с?

Координата тела:
y(t) = 7 + 4t – 2t² (в единицах СИ)

Требуется ответить на 7 вопросов.

1. Начальная проекция скорости v₀y

Скорость — производная координаты по времени:

v_y(t) = dy/dt = d/dt (7 + 4t – 2t²) = 4 – 4t

При t = 0:
v₀y = 4 – 0 = 4 м/с

✅ Ответ 1: v₀y = 4 м/с

2. Проекция ускорения a_y

Ускорение — производная скорости:

a_y = dv_y/dt = d/dt (4 – 4t) = –4 м/с²

✅ Ответ 2: a_y = –4 м/с²

(Постоянное ускорение → движение равноускоренное)

3. Координата в момент начала движения y₀

Начало движения — t = 0:

y(0) = 7 + 0 – 0 = 7 м

✅ Ответ 3: y₀ = 7 м

4. Закон изменения проекции скорости v_y(t)

Мы уже нашли:

v_y(t) = 4 – 4t

✅ Ответ 4: v_y = 4 – 4t

5. Координата тела через 2 с

Подставим t = 2 с в y(t):

y(2) = 7 + 4·2 – 2·(2)² = 7 + 8 – 8 = 7 м

✅ Ответ 5: y(2) = 7 м

Интересно: тело вернулось в начальную точку!

6. Перемещение за 2 с

Перемещение — векторная величина:
Δy = y(2) – y(0) = 7 – 7 = 0 м

✅ Ответ 6: Δy = 0 м

7. Путь, пройденный за 2 с

Путь — скаляр, сумма всех пройденных расстояний, независимо от направления.

Тело движется вверх, затем останавливается и движется вниз.

Найдём момент остановки (v_y = 0):

4 – 4t = 0 → t = 1 с

• От t = 0 до t = 1 с: движение вверх
• От t = 1 до t = 2 с: движение вниз

Найдём координату в верхней точке (t = 1 с):

y(1) = 7 + 4·1 – 2·1² = 7 + 4 – 2 = 9 м

Тогда:

• Путь вверх: 9 – 7 = 2 м
• Путь вниз: 9 – 7 = 2 м (так как вернулось в y = 7)

Общий путь: S = 2 + 2 = 4 м

✅ Ответ 7: S = 4 м

Сводка ответов:

1. v₀y = 4 м/с
2. a_y = –4 м/с²
3. y₀ = 7 м
4. v_y(t) = 4 – 4t
5. y(2) = 7 м
6. Перемещение = 0 м
7. Путь = 4 м

Почему это важно?

Эта задача ярко демонстрирует разницу между перемещением и путём: тело может вернуться в исходную точку (перемещение = 0), но при этом пройти значительное расстояние. Это важно в навигации, спорте, логистике — например, курьер может вернуться на склад, но за день проехать десятки километров.

Физический вывод: при наличии изменения направления движения путь всегда больше модуля перемещения.

Представьте, что вы — это тело. Утром вы выходите из дома (y = 7), идёте в магазин (y = 9), покупаете хлеб, а потом возвращаетесь домой (y = 7). Ваше перемещение за день — ноль (вы дома), но путь — 4 метра (ну, в масштабе задачи). Так что, друзья, даже если вы «никуда не ушли» — вы прошли путь! А в жизни — не судите о движении только по начальной и конечной точке: иногда самое интересное — в промежутке 😉.