Найти проекцию напряженности Eₓ и потенциал φ электрического поля, создаваемого безграничной заряженной плоскостью x= 0 в зависимости от координаты x, перпендикулярной к этой плоскости, поверхностная плотность заряда плоскости σ= const, потенциал заряженной плоскости принять равным нулю.
Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня фундаментальная задача электростатики — электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Эта задача — одна из самых важных в курсе физики, потому что её решение используется как «строительный блок» для анализа более сложных систем: конденсаторов, слоистых структур, даже в теории плазмы. Мы найдём проекцию напряжённости поля Eₓ и потенциал φ как функции координаты x, перпендикулярной плоскости, при условии, что потенциал самой плоскости (x = 0) равен нулю. Эта задача покажет, как симметрия упрощает расчёты, и почему поле бесконечной плоскости однородно.
Условие задачи:
- Бесконечная плоскость x = 0 заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ.
- Найти: Проекцию напряжённости поля Eₓ(x)
Потенциал φ(x) - Условие: φ(0) = 0
Шаг 1. Напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости
Из закона Гаусса известно, что напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ, равна:
E = σ / (2ε₀)
и направлена:
- от плоскости — если σ > 0,
- к плоскости — если σ < 0.
Поле однородно: его модуль не зависит от расстояния до плоскости.
Теперь определим проекцию на ось x.
- При x > 0 (справа от плоскости): поле направлено вдоль +x, если σ > 0 → Eₓ = +σ / (2ε₀)
- При **x < 0** (слева от плоскости): поле направлено **вдоль –x**, если σ > 0 → Eₓ = –σ / (2ε₀)
Это можно записать компактно с помощью знаковой функции:
Eₓ(x) = (σ / (2ε₀)) · sign(x)
где
- sign(x) = +1 при x > 0,
- sign(x) = –1 при x < 0,
- sign(0) = 0 (в самой плоскости поле разрывно, но это несущественно для потенциала).
Итак:
Eₓ(x) =
{ +σ / (2ε₀), если x > 0
{ –σ / (2ε₀), если x < 0
Шаг 2. Нахождение потенциала φ(x)
Потенциал связан с напряжённостью соотношением:
Eₓ = – dφ/dx → dφ = –Eₓ dx
Интегрируем от точки x = 0 (где φ = 0) до произвольной точки x.
Случай 1: x > 0
На этом участке Eₓ = +σ / (2ε₀) = const
→ φ(x) – φ(0) = – ∫₀ˣ Eₓ dx = – (σ / (2ε₀)) ∫₀ˣ dx = – (σ / (2ε₀)) x
Так как φ(0) = 0:
φ(x) = – (σ / (2ε₀)) x, при x ≥ 0
Случай 2: x < 0
Здесь Eₓ = –σ / (2ε₀)
→ φ(x) – φ(0) = – ∫₀ˣ Eₓ dx = – ∫₀ˣ (–σ / (2ε₀)) dx = + (σ / (2ε₀)) ∫₀ˣ dx
Но при x < 0 интеграл от 0 до x — отрицательный:
∫₀ˣ dx = x – 0 = x (x < 0)
→ φ(x) = (σ / (2ε₀)) x
Заметим, что при x < 0 это выражение **тоже отрицательно**, если σ > 0.
Можно записать общий результат:
φ(x) = – (σ / (2ε₀)) · |x|
Проверим:
- При x > 0: |x| = x → φ = –(σ / (2ε₀)) x — верно
- При x < 0: |x| = –x → φ = –(σ / (2ε₀)) (–x) = +(σ / (2ε₀)) x — верно
- При x = 0: φ = 0 — по условию
✅ Всё согласуется.
Шаг 3. Итоговые формулы
- Проекция напряжённости поля:
Eₓ(x) = (σ / (2ε₀)) · sign(x)
или кусочно: при x > 0: Eₓ = +σ / (2ε₀)
при x < 0: Eₓ = –σ / (2ε₀) - Потенциал:
φ(x) = – (σ / (2ε₀)) · |x|
Шаг 4. Физический смысл
- Поле однородно по обе стороны плоскости, но меняет направление при переходе через плоскость.
- Потенциал непрерывен, имеет излом в x = 0 (производная разрывна — что соответствует разрыву поля).
- Потенциал убывает при удалении от плоскости в обе стороны, если σ > 0, что логично: положительно заряженная плоскость «отталкивает» положительный пробный заряд, и его потенциальная энергия уменьшается с расстоянием.
Окончательный ответ:
- Eₓ(x) = (σ / (2ε₀)) · sign(x)
- φ(x) = – (σ / (2ε₀)) · |x|
при условии φ(0) = 0.
Почему это важно?
Эта задача показывает, что бесконечная заряженная плоскость создаёт однородное поле, не зависящее от расстояния. Именно так устроено поле плоского конденсатора (между двумя плоскостями). Это приближение широко используется в электронике, ускорителях частиц и даже в бытовых приборах.
Физический вывод: симметрия системы определяет структуру поля, а выбор нулевого потенциала — вопрос удобства; здесь он выбран на самой плоскости, что приводит к симметричному (чётному) потенциалу.
Представьте, что заряженная плоскость — это ваша мама, стоящая на кухне (x = 0). Чем дальше вы уходите от кухни (в любую сторону), тем сильнее вы «чувствуете» её зов: «Иди кушать!» — но сила этого «поля» не слабеет с расстоянием! А потенциал — это ваше желание вернуться: оно линейно падает, чем дальше вы уходите. И в самой кухне (x = 0) ваше желание максимальное — но по условию мы приняли его за ноль, чтобы было удобнее считать 😉. Так что, друзья, даже в электростатике есть место для семейного уюта!