Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня изящная задача на условия равновесия твёрдого тела с учётом выталкивающей силы Архимеда. На первый взгляд — простая палочка в стакане, но под поверхностью (в прямом и переносном смысле!) скрывается тонкая игра сил: тяжести, реакции опоры и архимедовой силы. Мы узнаем, с какой силой палочка давит на край стакана, когда стакан доверху наполнен жидкостью, плотность которой вдвое меньше плотности самой палочки. Эта задача — прекрасный пример того, как даже в бытовой ситуации работают законы гидростатики и статики.
Условие задачи:
В гладкий стакан высотой 8 см и радиусом 3 см поставили однородную палочку длиной 12 см и массой 100 г. Стакан доверху наполнили жидкостью, плотность которой в два раза меньше плотности материала палочки. С какой силой давит палочка на край стакана?
Дано:
- Стакан: гладкий, высота H = 8 см = 0,08 м, радиус R = 3 см = 0,03 м
- Палочка: однородная, длина L = 12 см = 0,12 м, масса m = 100 г = 0,1 кг
- Стакан доверху наполнен жидкостью, плотность которой ρ_ж = ρ/2, где ρ — плотность материала палочки
- Требуется найти силу, с которой палочка давит на край стакана
Шаг 1. Геометрия положения палочки
Палочка опирается:
- Нижним концом — на дно стакана,
- Верхним концом — на край стакана (внутреннюю кромку).
Так как стакан гладкий, силы трения нет, и реакции опоры направлены перпендикулярно поверхностям:
- В точке касания с дном — реакция вертикальна,
- В точке касания с краем — реакция перпендикулярна палочке (так как край — это «угол», но в идеале — точка, и сила направлена нормально к палочке).
Однако для упрощения (и по стандартной практике таких задач) считают, что сила со стороны края стакана направлена перпендикулярно палочке, а сила со стороны дна — вертикальна.
Но для расчёта момента удобнее выбрать точку опоры на дне и записать уравнение моментов.
Сначала найдём угол наклона палочки.
Из геометрии:
- Вертикальное расстояние между опорами = высота стакана = H = 8 см
- Длина палочки = L = 12 см
Тогда угол α между палочкой и горизонталью определяется из:
sinα = H / L = 8 / 12 = 2/3
→ α = arcsin(2/3) ≈ 41,8°
(Можно не вычислять угол, а работать с отношениями.)
Горизонтальное расстояние от дна до края:
x = √(L² – H²) = √(144 – 64) = √80 ≈ 8,94 см
Но нам понадобится расстояние от центра тяжести до точек опоры.
Шаг 2. Силы, действующие на палочку
- Сила тяжести: mg, приложена в центре палочки (на расстоянии L/2 = 6 см от любого конца), направлена вниз.
- Архимедова сила: F_A = ρ_ж · V_погр · g, направлена вверх, приложена в центре объёма погружённой части.
- Реакция дна: N₁, вертикальна (гладкое дно).
- Реакция края стакана: N₂, направлена перпендикулярно палочке (гладкая поверхность).
Но так как стакан доверху наполнен, и палочка частично выступает, нужно найти, какая часть палочки погружена.
Шаг 3. Какая часть палочки погружена?
Палочка опирается на дно и край, так что вся часть от дна до уровня жидкости — погружена. Но жидкость доверху, то есть уровень жидкости = H = 8 см.
Следовательно, погружена только та часть палочки, которая находится ниже уровня 8 см — то есть вся палочка, кроме выступающей части над краем.
Но палочка касается края изнутри, и вся её длина от дна до края находится внутри жидкости, потому что жидкость до самого края.
Таким образом, вся палочка погружена в жидкость? Нет!
Длина палочки — 12 см, высота стакана — 8 см. Палочка наклонена, и её верхний конец лежит на краю, то есть вся палочка находится внутри стакана, но жидкость заполняет стакан до высоты 8 см, а палочка проходит от дна (0 см) до края (8 см по вертикали), но её длина больше 8 см, значит, она наклонена, и вся палочка находится ниже уровня жидкости, потому что жидкость заполняет весь объём стакана до краёв, и палочка не выступает над уровнем жидкости — она упирается в край изнутри.
Следовательно: вся палочка погружена в жидкость.
Проверим:
- Самая высокая точка палочки — на краю стакана, где уровень жидкости = 8 см.
- Значит, вся палочка находится в жидкости.
→ Объём погружённой части = полный объём палочки V
Шаг 4. Найдём объём и плотность палочки
Масса палочки: m = 0,1 кг
Плотность материала: ρ = m / V → V = m / ρ
Плотность жидкости: ρ_ж = ρ / 2
Тогда архимедова сила:
F_A = ρ_ж · V · g = (ρ / 2) · (m / ρ) · g = (m g) / 2
То есть выталкивающая сила равна половине веса палочки!
→ F_A = mg / 2 = (0,1 · 10) / 2 = 0,5 Н
(Берём g = 10 м/с² для простоты)
Вес палочки: mg = 1 Н
Шаг 5. Уравнение моментов
Выберем точку опоры на дне стакана (точка A). Относительно неё моменты:
- Сила тяжести mg приложена в центре палочки. Плечо — горизонтальное расстояние от центра до вертикали через A. Но удобнее использовать перпендикулярное расстояние до линии действия силы.
Поскольку все силы вертикальны (mg вниз, F_A вверх, N₁ вверх), а N₂ — перпендикулярна палочке, но для упрощения заметим:
Равнодействующая вертикальных сил:
mg – F_A = 1 – 0,5 = 0,5 Н вниз
Эта сила приложена в центре тяжести, так как и mg, и F_A приложены в центре (палочка однородная, объём равномерен).
Теперь: чтобы найти силу N₂ (реакцию края), запишем моменты относительно точки A.
Момент от равнодействующей силы тяжести и Архимеда:
M = (mg – F_A) · d,
где d — горизонтальное расстояние от центра палочки до точки A.
Из геометрии:
- Длина палочки: L = 12 см
- Высота: H = 8 см
- Горизонтальное расстояние от A до края (точки B): b = √(L² – H²) = √(144 – 64) = √80 = 4√5 ≈ 8,944 см
Центр палочки находится на половине длины, поэтому его горизонтальная координата:
d = b / 2 = √80 / 2 = √20 ≈ 4,472 см = 0,04472 м
Теперь: сила N₂ направлена перпендикулярно палочке. Её момент относительно A равен N₂ · L, потому что плечо = полная длина палочки (сила приложена в конце, перпендикулярно).
Но на самом деле, если сила перпендикулярна палочке, то её момент = N₂ · L.
Условие равновесия моментов:
N₂ · L = (mg – F_A) · d
→ N₂ = [(mg – F_A) · d] / L
Подставляем:
mg – F_A = 0,5 Н
d = √20 см = √20 / 100 м
L = 12 см = 0,12 м
Но проще в сантиметрах (силы в ньютонах, расстояния в метрах):
d = (√80 / 2) / 100 = (√80) / 200 м
L = 0,12 м
Однако можно использовать отношение d / L = (b/2) / L = (√(L² – H²)/2) / L = √(1 – (H/L)²) / 2
H/L = 8/12 = 2/3 → (H/L)² = 4/9
→ √(1 – 4/9) = √(5/9) = √5 / 3
→ d / L = (√5 / 3) / 2 = √5 / 6
Тогда:
N₂ = (mg – F_A) · (d / L) = 0,5 · (√5 / 6)
√5 ≈ 2,236
→ N₂ ≈ 0,5 · 2,236 / 6 ≈ 1,118 / 6 ≈ 0,186 Н
Но это не та сила, которую спрашивают!
В задаче спрашивается: с какой силой палочка давит на край стакана?
Это — сила, равная по модулю N₂, но направленная в сторону стакана. Однако N₂ — это сила со стороны стакана на палочку, а по третьему закону Ньютона, сила палочки на стакан равна N₂.
Но направление N₂ — перпендикулярно палочке. Однако в таких задачах часто спрашивают модуль этой силы, и ответ — N₂.
Но давайте перепроверим через другой метод.
Альтернативный подход: разложение сил
Пусть сила давления на край — F, направлена перпендикулярно палочке.
Сумма моментов относительно точки на дне:
Момент от веса: mg · (L/2) · cosα (плечо = (L/2) cosα — горизонтальное расстояние)
Момент от Архимеда: F_A · (L/2) · cosα (в противоположную сторону)
Момент от F: F · L (так как F перпендикулярна, плечо = L)
Уравнение:
F · L = mg · (L/2) cosα – F_A · (L/2) cosα = (mg – F_A) · (L/2) cosα
→ F = (mg – F_A) · (cosα) / 2
Теперь найдём cosα:
sinα = H / L = 8/12 = 2/3
→ cosα = √(1 – 4/9) = √(5/9) = √5 / 3
Тогда:
F = 0,5 · (√5 / 3) / 2 = 0,5 · √5 / 6 = √5 / 12 ≈ 2,236 / 12 ≈ 0,186 Н
Тот же результат.
Окончательный ответ:
Палочка давит на край стакана с силой ≈ 0,186 Н
(Если точнее: F = (mg / 2) · (√5 / 6) = mg √5 / 12)
При m = 0,1 кг, g = 10 м/с²:
F = (1 · √5) / 12 ≈ 0,186 Н
Почему это важно?
Эта задача показывает, как выталкивающая сила уменьшает эффективный вес тела, что приводит к уменьшению нагрузки на опоры. В кораблестроении, подводной робототехнике и даже при проектировании понтонных мостов такие расчёты критичны.
Физический вывод: архимедова сила, приложенная в центре объёма, частично компенсирует вес, и результирующий момент определяет силу давления на край.
Представьте, что вы — палочка, а стакан — ваша зона комфорта. Когда вы «погружаетесь в жидкость» (например, в ванну), вас становится легче прижимать к краю. Вода поддерживает вас, и вы давите на бортик не так сильно, как на суше. Так и здесь: жидкость «помогает» палочке, и сила давления на край уменьшается вдвое! Поэтому, друзья, если чувствуете, что слишком давите на окружающих — окунитесь в «жидкость доброты», и ваша сила давления уменьшится в два раза 😉.