Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня одна из самых красивых и глубоких задач волновой оптики — задача про кольца Ньютона. Эти причудливые концентрические круги, возникающие при контакте плоско-выпуклой линзы со стеклянной пластинкой, — не просто оптический фокус, а прямое свидетельство волновой природы света и явления интерференции. Их открыл ещё Исаак Ньютон (отсюда и название), хотя сам он считал свет потоком частиц! Ирония истории, не правда ли?
Но сегодня мы не будем спорить о природе света — мы будем считать. И делаем это с конкретной целью: по известному расстоянию между вторым и третьим светлыми кольцами определить радиус кривизны линзы R. Задача требует внимательности, аккуратности и понимания того, как формируются интерференционные кольца. Поехали!
Шаг 1. Вспоминаем физическую суть колец Ньютона
Кольца Ньютона возникают из-за интерференции световых волн, отражённых:
- от нижней поверхности линзы (граница стекло–воздух),
- и от верхней поверхности стеклянной пластины (граница воздух–стекло).
В зазоре между линзой и пластиной образуется тонкая воздушная прослойка, толщина которой увеличивается от центра к краям. При отражении от границы «воздух–стекло» (более плотная среда) происходит потеря полуволны, то есть фазовый скачок π, а при отражении от «стекло–воздух» — нет. Это приводит к тому, что условия максимума и минимума в отражённом свете меняются местами по сравнению с проходящим светом.
Для светлых колец в отражённом свете условие интерференционного максимума имеет вид:
2d + λ/2 = mλ,
где d — толщина воздушного зазора, m = 1, 2, 3, ...
Отсюда:
2d = (m - 1/2)λ
Связь между толщиной зазора d и радиусом кольца r определяется геометрией линзы. При малых r (вблизи центра) можно использовать приближение:
d ≈ r² / (2R),
где R — радиус кривизны выпуклой поверхности линзы.
Подставляя это в условие максимума, получаем:
2 × (r² / (2R)) = (m - 1/2)λ
→ r² / R = (m - 1/2)λ
→ r = sqrt( (m - 1/2) × λ × R )
Это и есть ключевая формула, данная в условии. Отлично!
Шаг 2. Запишем радиусы второго и третьего светлых колец
Обратите внимание: нумерация колец начинается с m = 1.
- Для второго светлого кольца (m = 2):
r₂ = sqrt( (2 - 1/2) × λ × R ) = sqrt( (3/2) × λ × R ) - Для третьего светлого кольца (m = 3):
r₃ = sqrt( (3 - 1/2) × λ × R ) = sqrt( (5/2) × λ × R )
Шаг 3. Выразим расстояние между кольцами
По условию, расстояние между вторым и третьим кольцами равно:
Δr = r₃ - r₂
Подставим выражения:
Δr = sqrt( (5/2) λ R ) - sqrt( (3/2) λ R )
Вынесем общий множитель sqrt(λ R / 2):
Δr = sqrt(λ R / 2) × ( sqrt(5) - sqrt(3) )
Теперь наша цель — выразить R через Δr, λ и известные числа.
Шаг 4. Решаем уравнение относительно R
Разделим обе части на (sqrt(5) - sqrt(3)):
sqrt(λ R / 2) = Δr / (sqrt(5) - sqrt(3))
Теперь возведём обе части в квадрат:
λ R / 2 = Δr² / (sqrt(5) - sqrt(3))²
Вычислим знаменатель:
(sqrt(5) - sqrt(3))² = 5 - 2×sqrt(15) + 3 = 8 - 2×sqrt(15)
Таким образом:
λ R / 2 = Δr² / (8 - 2×sqrt(15))
Умножим обе части на 2:
λ R = 2 Δr² / (8 - 2×sqrt(15))
Упростим знаменатель, вынеся 2:
8 - 2×sqrt(15) = 2 × (4 - sqrt(15))
Тогда:
λ R = 2 Δr² / [2 × (4 - sqrt(15))] = Δr² / (4 - sqrt(15))
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на (4 + sqrt(15)):
R = [Δr² / λ] × [ (4 + sqrt(15)) / ( (4 - sqrt(15))(4 + sqrt(15)) ) ]
Вычислим знаменатель:
(4 - sqrt(15))(4 + sqrt(15)) = 16 - 15 = 1
О, какая красота! Знаменатель стал единицей.
Значит:
R = (Δr² / λ) × (4 + sqrt(15))
Численно:
sqrt(15) ≈ 3.87298
→ 4 + sqrt(15) ≈ 7.87298
Итак, окончательный ответ:
R = (4 + √15) × (Δr² / λ) ≈ 7.873 × (Δr² / λ)
Шаг 5. Проверка размерности
[Δr²] = м², [λ] = м → [Δr² / λ] = м → [R] = м.
Всё верно — радиус кривизны измеряется в метрах.
Шаг 6. Почему это важно?
Кольца Ньютона — не просто лабораторное чудо. Они используются на практике для контроля качества оптических поверхностей: если кольца идеально круглые и равномерные, поверхность линзы имеет правильную сферическую форму. Любое отклонение — признак дефекта.
Физический вывод: геометрия интерференционной картины напрямую связана с формой оптических элементов, и по расстоянию между кольцами можно с высокой точностью определить радиус кривизны линзы — даже не касаясь её!
Представьте, что вы положили круглую тарелку на стол, а сверху — слегка выпуклую крышку от кастрюли. Если посмотреть под углом при дневном свете, вы можете увидеть радужные круги — это «кухонные кольца Ньютона»! Только не пытайтесь по ним определять радиус кривизны крышки — соседи подумают, что вы сошли с ума. А вот физики — они как раз и сошли с ума… от любви к точности! Так что, друзья, в следующий раз, когда увидите радужные блики на мыльном пузыре или масляном пятне — знайте: это не просто красота, это интерференция, и она повсюду!