Из пушки последовательно производят два выстрела с интервалом τ = 10 с.
Начальная скорость снаряда: v₀ = 300 м/с
Угол наклона ствола: α = 60°
Ускорение свободного падения: g = 9,8 м/с²
Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Требуется найти расстояние l между снарядами в момент времени t = τ = 10 с после второго выстрела.
Шаг 1. Определим временные моменты
Обозначим:
- t = 0 — момент первого выстрела
- t = τ = 10 с — момент второго выстрела
- Нас интересует момент t = τ + τ = 20 с после первого выстрела, или 10 с после второго
Таким образом:
- Первый снаряд летит уже 20 секунд
- Второй снаряд летит 10 секунд
Шаг 2. Разложим начальную скорость на компоненты
Для обоих снарядов начальная скорость одинакова и направлена под углом α = 60°.
- Горизонтальная компонента:
v₀ₓ = v₀·cosα = 300·cos60° = 300·0,5 = 150 м/с - Вертикальная компонента:
v₀ᵧ = v₀·sinα = 300·sin60° = 300·(√3/2) ≈ 300·0,8660 = 259,81 м/с
Эти компоненты одинаковы для обоих снарядов, так как условия выстрела идентичны.
Шаг 3. Запишем уравнения координат для каждого снаряда
Для тела, брошенного под углом, координаты в момент времени t (отсчитываемого от момента его выстрела) задаются:
- x(t) = v₀ₓ · t
- y(t) = v₀ᵧ · t – (g·t²)/2
Для первого снаряда (летит 20 с):
- x₁ = v₀ₓ · 20 = 150 · 20 = 3000 м
- y₁ = v₀ᵧ · 20 – (9,8 · 20²)/2
= 259,81 · 20 – (9,8 · 400)/2
= 5196,2 – (3920)/2
= 5196,2 – 1960 = 3236,2 м
Но подождём! Проверим, не упал ли первый снаряд к этому времени. Возможно, он уже на земле!
Шаг 4. Проверим время полёта одного снаряда
Полное время полёта (до падения на уровень выстрела):
T = (2·v₀·sinα) / g = (2·300·sin60°) / 9,8
= (600 · 0,8660) / 9,8 ≈ 519,62 / 9,8 ≈ 53,02 с
То есть каждый снаряд находится в воздухе около 53 секунд.
Следовательно:
- Через 20 с первый снаряд ещё в полёте
- Через 10 с второй снаряд тоже в полёте
Можно продолжать расчёт.
Шаг 5. Координаты второго снаряда (летит 10 с):
- x₂ = v₀ₓ · 10 = 150 · 10 = 1500 м
- y₂ = v₀ᵧ · 10 – (9,8 · 10²)/2
= 259,81 · 10 – (9,8 · 100)/2
= 2598,1 – 980/2
= 2598,1 – 490 = 2108,1 м
Шаг 6. Найдём вектор расстояния между снарядами
Разность координат:
- Δx = x₁ – x₂ = 3000 – 1500 = 1500 м
- Δy = y₁ – y₂ = 3236,2 – 2108,1 = 1128,1 м
Шаг 7. Найдём расстояние между снарядами
Расстояние — это модуль вектора разности:
l = √(Δx² + Δy²) = √(1500² + 1128,1²)
Вычислим:
- 1500² = 2 250 000
- 1128,1² ≈ (1128,1 × 1128,1) ≈ 1 272 600 (проверим точнее)
Точное значение расстояния:
l ≈ 1876,9 м
Округлим до разумной точности: l ≈ 1880 м или 1,88 км
Шаг 8. Альтернативный подход (через относительное движение)
Можно заметить, что разность векторов скоростей между снарядами постоянна, потому что оба движутся под действием одинакового ускорения g.
В момент второго выстрела первый снаряд уже имеет какие-то координаты и скорость. Но проще — как мы сделали: просто вычислить координаты каждого и найти расстояние.
Ответ:
Расстояние между снарядами через 10 секунд после второго выстрела составляет примерно 1880 метров.
Эта задача демонстрирует, как даже при одинаковых начальных условиях снаряды, выпущенные с задержкой, расходятся в пространстве из-за непрерывного изменения вертикальной скорости.
А теперь представьте: вы запускаете два фейерверка с интервалом в 10 секунд. К тому времени, как второй взлетает, первый уже высоко в небе и далеко вперёд — и расстояние между ними больше километра! Физика напоминает: даже одинаковые начала не гарантируют близости в будущем — особенно когда гравитация в деле.