Знаете, в математике, особенно когда речь идёт о её преподавании в школе, есть такие вопросы-матрёшки. Кажется, что ответ лежит на поверхности, но стоит копнуть - и открывается новый слой, а за ним ещё не один. Один из таких вопросов мы с коллегой-педагогом, опытнейшим специалистом, обсуждали на днях в учительской в перерыве между уроками.
Речь шла о том, как мы определяем для школьников понятие «неравенства». В старших классах мы даём им строгое определение: «Число A больше числа B, если их разность A–B положительна». Вроде бы тут всё ясно и логично.
Но что тогда такое "положительна" и что вообще такое "разность"? Задумайтесь над этими вопросами прежде, чем читать дальше, и ответьте для себя.
А теперь поехали.
Что такое "положительна"?
В школе мы часто отвечаем на это жестом: «Вот, смотри, числовая ось. Нуль - ну, точка выделенная - вот здесь. Всё, что справа - положительное, а всё, что слева - отрицательное». Это интуитивно. Это понятно. Ребёнок представляет себе линейку, и всё встаёт на свои места.
Не будем, правда, спрашивать, как ребёнок догадается, что если ось повернуть (на координатной плоскости их, скажем, уже две), то "справа" превратится в "сверху", а "слева" в "снизу"...
Однако для математики такой ответ - чистой воды жульничество. Это ни разу не определение, а описание. Это как на вопрос «Что такое стол?» ответить «Ну, вот же он, стоит в углу». Дверь покамест существительна, а не прилагательна.
Есть более строгий, аксиоматический подход. В нём множество вещественных чисел нам определяют как объединение трёх непересекающихся множеств: положительных чисел (P), отрицательных чисел (N) и нуля {Z}. И одна из аксиом (принцип трихотомии) как раз и гласит: для любого числа a выполняется одно и только одно: оно либо положительно (a∈P), либо отрицательно (a∈N), либо равно нулю (a∈Z).
Кажется, вот он, ответ! «Больше 0» - значит, принадлежит множеству P. Но и тут есть проблемы: даже если восьмикласснику рассказать про аксиоматику, он нас пошлёт примерно туда же, куда Георг Кантор посылал современников, которые на его "райскую" теорию множеств косо смотрели. Потому что как работать с этими аксиоматизированными вещественными числами, никто не знает, а вот с теми, которые на оси, мы уже даже что-то считать научились - и не выбросишь же этот опыт в окошко, как наши старшие товарищи выбрасывали шкаф...
Сломали систему, в общем. Но это ещё цветочки. Вторая половина - ягодки.
А что такое "разность"?
Помните, как мы определяем вычитание в начальной школе? А никак! Петерсон определяет как разность множеств, у неё даже были упражнения на вычитание элементов, которых нет в "уменьшаемом" множестве, ну а обычно это просто некое "обратное действие к сложению", как говорят мои кружковцы. Ладно, не определение, ну так хоть почитаем в учебнике, как же эту самую разность детям предлагают считать.
«Чтобы найти разность двух чисел, нужно из большего числа вычесть меньшее». Слышите? В самом определении операции, которая должна потом помочь нам определить «больше», уже заложено это самое «больше»!
Получается логический круг:
- Чтобы понять, что A>B, мы смотрим на разность A–B.
- Чтобы посчитать разность A–B, мы должны заранее знать, что A>B.
Выходит, мы определяем понятие через само себя.
Нет, разумеется, в реальной-то математике это всё решаемо:
- В натуральных числах (аксиоматика Пеано) порядок задаётся естественным образом (через следование и сложение, никакой разности там вообще нет - это чисто школьная креатура);
- В вещественных (при аксиоматическом подходе) разность любых двух чисел определяется как сумма с обратным по сложению (или противоположным, в школьной терминологии) числом, и тогда определение про то, что "разность положительна", максимально корректно.
Но где школа - и где все эти наши стройные аксиоматики?
В школе применяется "спиральный подход" к обучению. Он веками работает, а старая программистская мудрость гласит "работает - не трогай":
1. Начальная школа (уровень интуиции): Мы опираемся на наглядность. Яблоки, палочки, числовая ось. «Больше» - это «дальше по линейке», «больше конфет». Вычитание - это «взять из одной кучки и переложить в другую». Неслучайно же вместо "вычесть" в началке иногда говорят "отнять" - просто отнимаем у друга конфеты, вот вам и вычитание. Здесь мы закладываем первичное, чувственное понимание. Круг определений на этом уровне не страшен, он естественен.
2. Средняя школа (уровень алгоритмов): Мы начинаем систематизировать. Вводим правила работы с неравенствами (можно прибавлять к обеим частям, умножать на положительное число и т.д.). Мы не задумываемся, почему «5>3», а учимся использовать это для доказательства того, что 17>11.
3. Старшая школа (уровень строгости): Здесь появляется то самое определение через разность. Его цель - не «объяснить, что такое больше», а дать инструмент для доказательств. Сильный школьник может сам прочитать про аксиоматику и понять, откуда растут ноги у этого инструмента. Когда мы доказываем, что функция возрастает, или оцениваем сложное выражение, мы оперируем знаком разности. Это формальный язык, который по сути имитирует строгие логические рассуждения.
Так что нашу проблему нельзя «решить» в лоб. Её нужно принять как часть пути познания. Сначала мы даём ребёнку костыль интуиции, потом учим его ходить, используя правила, и только в конце слегка показываем, как устроены мышцы и сухожилия, позволяющие совершать эти движения. Вот только совсем не уверен я, что это правильно...
Коллеги, что думаете? Как исправить эту жуткую несправедливость с круговыми определениями, да и есть ли вообще смысл требовать от школьников какой-то строгости, когда мы их цинично обманываем в самом начале? Или имеет смысл не обманывать, а честно "бахнуть" аксиоматику?.. Чтоб жизнь мёдом не казалась - хотя бы в старших-то классах...
А про кружки и олимпиады - мой Telegram-канал, заходите, там много хороших и разных задач от совсем простых до финала Всеросса.