Друзья, сегодня у нас — классическая задача по теме “Постоянный ток и электрические цепи”, которая входит в программу 11 класса и регулярно встречается в ЕГЭ, олимпиадах и контрольных. Она объединяет законы Ома, свойства конденсатора, закон сохранения энергии и даже элементы экспоненциальных процессов (в упрощённом виде).
Мы найдём напряжение на конденсаторе, заряд, энергию поля, и даже какая часть энергии источника перешла в тепло. Разберём всё максимально подробно — с пояснениями, формулами и физическим смыслом.
Потому что конденсатор — это не просто “банка для зарядов”, это накопитель энергии, и его зарядка — процесс, полный тонкостей.
Готовы стать электриками-теоретиками? Тогда — подключаем батарейку, замыкаем цепь и считаем, как настоящие физики!
🔹 УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ (типовая формулировка):
Источник тока с ЭДС ℰ = 12 В и внутренним сопротивлением r = 0 (идеальный) подключён к цепи, состоящей из резистора R = 100 Ом и конденсатора C = 50 мкФ, соединённых последовательно. Найдите:
а) максимальный заряд на конденсаторе;
б) энергию электрического поля конденсатора после полной зарядки;
в) количество теплоты, выделившееся в резисторе за всё время зарядки.
🔹 РЕШЕНИЕ
🔸 ШАГ 1: Что происходит при зарядке конденсатора?
- В начальный момент (t = 0) конденсатор не заряжен → напряжение на нём U = 0
- Ток в цепи максимален: I₀ = ℰ / R
- По мере зарядки напряжение на конденсаторе растёт, ток уменьшается
- В установившемся режиме (t → ∞) ток прекращается (конденсатор = разрыв цепи),
→ всё напряжение источника падает на конденсаторе: U = ℰ
🔸 ШАГ 2: а) Максимальный заряд на конденсаторе
В установившемся состоянии:
U_C = ℰ = 12 В
Заряд на конденсаторе:
Q = C · U_C = C · ℰ
Подставляем:
- C = 50 мкФ = 50 × 10⁻⁶ Ф = 5·10⁻⁵ Ф
- ℰ = 12 В
Q = 5·10⁻⁵ · 12 = 6·10⁻⁴ Кл = 600 мкКл
✅ Ответ (а): Q = 600 мкКл
🔸 ШАГ 3: б) Энергия электрического поля конденсатора
Энергия заряженного конденсатора:
W_C = (1/2) · C · U² = (1/2) · C · ℰ²
Подставляем:
W_C = 0.5 · 5·10⁻⁵ · (12)² = 0.5 · 5·10⁻⁵ · 144 = 0.5 · 7.2·10⁻³ = 3.6·10⁻³ Дж = 3.6 мДж
✅ Ответ (б): W_C = 3.6 мДж
🔸 ШАГ 4: в) Теплота, выделившаяся в резисторе
Здесь — самый важный момент!
Источник совершил работу по переносу заряда Q при ЭДС ℰ:
A_ист = ℰ · Q = ℰ · (C · ℰ) = C · ℰ²
Подставим:
A_ист = 5·10⁻⁵ · 144 = 7.2·10⁻³ Дж = 7.2 мДж
Эта энергия пошла на:
- Запас энергии в конденсаторе: W_C = 3.6 мДж
- Выделение тепла в резисторе: Q_тепл
По закону сохранения энергии:
A_ист = W_C + Q_тепл
→ Q_тепл = A_ист – W_C = 7.2 мДж – 3.6 мДж = 3.6 мДж
✅ Ответ (в): Q_тепл = 3.6 мДж
🔸 ШАГ 5: Почему ровно половина?
Обратите внимание:
W_C = (1/2) Cℰ²,
A_ист = Cℰ² → Q_тепл = (1/2) Cℰ² = W_C
❗️ При зарядке конденсатора через резистор от идеального источника — ровно половина энергии источника превращается в тепло, независимо от R и C!
Это — фундаментальный результат, который часто вызывает удивление, но легко выводится.
🔹 ПОЧЕМУ ЭТО ТИПОВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ 11 КЛАССА?
Она проверяет:
- Понимание режима постоянного тока с конденсатором (в установившемся состоянии — ток через конденсатор = 0)
- Знание формул для заряда и энергии конденсатора
- Умение применять закон сохранения энергии в электрических цепях
- Осознание того, что не вся энергия источника идёт в полезную работу
Это — основа для понимания RC-цепей, фильтров, накопителей энергии, импульсных схем.
✅ ОТВЕТЫ:
а) Максимальный заряд: 600 мкКл
б) Энергия поля конденсатора: 3.6 мДж
в) Теплота в резисторе: 3.6 мДж
💡 Интересный факт:
Даже если сопротивление R сделать очень маленьким (почти короткое замыкание), теплота всё равно будет 3.6 мДж! Потому что при меньшем R процесс идёт быстрее, но ток больше — и интеграл от I²R dt остаётся тем же. Это — красота физики!
Представьте, что вы — электрон. Вас “выталкивает” батарейка, вы проходите через резистор (и теряете энергию на тепло), а потом оседаете на обкладке конденсатора. Вы думаете: «Половина энергии потрачена впустую!» — а физик отвечает: «Нет — это не впустую. Это плата за то, чтобы зарядить конденсатор через реальную цепь. В идеальном мире без сопротивления — можно было бы избежать потерь… но в реальности — всегда есть тепло». А потом добавляет: «Зато теперь конденсатор готов отдать энергию мгновенно — например, вспышке фотоаппарата!». ⚡🔋