Разбираем энергетический баланс при движении под углом — с законом сохранения и без сопротивления!
Друзья, сегодня у нас — задача, которая объединяет горизонтальный бросок и энергетический подход. Камень брошен горизонтально с некоторой высоты — и мы должны найти, на какой высоте его кинетическая энергия станет равна потенциальной. Казалось бы — не хватает данных: нет начальной скорости, нет высоты броска… Но на самом деле — ответ не зависит от начальной скорости! И именно это делает задачу элегантной.
Мы разберём всё максимально подробно: от выбора нулевого уровня потенциальной энергии → к записи закона сохранения энергии → к нахождению искомой высоты. И да — мы сделаем это с физическим смыслом, проверкой и объяснением, почему начальная скорость не важна.
Потому что в физике часто главное — не то, что дано, а то, что сохраняется.
Готовы проследить, как энергия перетекает из потенциальной в кинетическую? Тогда — берём камень, бросаем его горизонтально и считаем, как настоящие энергетики!
🔹 ДАНО:
— Камень брошен горизонтально со скоростью v₀ с высоты H
— Сопротивление воздуха — отсутствует
— Ускорение свободного падения: g
Найти:
Высоту h над землёй, на которой K = U
❗️ Важно: в задаче не даны числа — значит, ответ будет в общем виде, и, как мы увидим, не будет зависеть от v₀.
🔹 ШАГ 1: Выбираем нулевой уровень потенциальной энергии
Примем за нулевой уровень поверхность земли → потенциальная энергия на высоте y:
U = m·g·y
🔹 ШАГ 2: Записываем полную механическую энергию
В начальный момент (на высоте H):
- Кинетическая энергия: K₀ = (1/2)·m·v₀²
- Потенциальная энергия: U₀ = m·g·H
- Полная энергия: E = K₀ + U₀ = (1/2)·m·v₀² + m·g·H
Поскольку сопротивления нет — E = const.
🔹 ШАГ 3: Условие задачи — K = U
В некоторый момент на высоте h:
- K = U
- Полная энергия: E = K + U = U + U = 2U
Но E — та же самая, что и вначале:
2U = (1/2)·m·v₀² + m·g·H
Подставляем U = m·g·h:
2·m·g·h = (1/2)·m·v₀² + m·g·H
Сокращаем массу m (она ≠ 0):
2·g·h = (1/2)·v₀² + g·H
Разделим обе части на g:
2h = (v₀²)/(2g) + H
→ h = H/2 + v₀²/(4g)
❗️ Кажется, ответ зависит от v₀… но подождите!
🔹 ШАГ 4: Внимание! В задаче не сказано “с высоты H” — только “бросили горизонтально”
Но если не задана начальная высота, то, возможно, подразумевается: найти высоту относительно точки броска, или — что более вероятно — найти, на какой высоте (от земли) K = U, если известно, что бросок был с некоторой высоты, но… есть нюанс.
Однако — в классической формулировке этой задачи часто подразумевается, что начальная потенциальная энергия — единственная, и начальная кинетическая энергия — задана, но…
💡 Но есть другой подход — и он даёт универсальный ответ!
🔹 ШАГ 5: Альтернативный (и правильный) подход: через изменение энергий
При горизонтальном броске:
- Горизонтальная скорость vₓ = v₀ — не меняется
- Вертикальная скорость v_y = g·t — растёт
- Полная скорость: v = √(v₀² + v_y²)
- Кинетическая энергия: K = (1/2)·m·(v₀² + v_y²) = (1/2)·m·v₀² + (1/2)·m·v_y²
Потенциальная энергия на высоте h: U = m·g·h
Но также: v_y² = 2·g·(H – h) — из кинематики (падение с высоты H – h)
→ K = (1/2)·m·v₀² + (1/2)·m·2·g·(H – h) = (1/2)·m·v₀² + m·g·(H – h)
Теперь приравниваем K = U:
(1/2)·m·v₀² + m·g·(H – h) = m·g·h
Сокращаем m:
(1/2)·v₀² + g·(H – h) = g·h
→ (1/2)·v₀² + g·H – g·h = g·h
→ (1/2)·v₀² + g·H = 2·g·h
→ h = (v₀²)/(4g) + H/2 — тот же результат.
🔹 ШАГ 6: Но в чём подвох?
❗️ Если бы камень просто падал без начальной скорости (v₀ = 0), то:
h = 0 + H/2 = H/2
→ На половине начальной высоты K = U.
Но при горизонтальном броске — у тела есть начальная кинетическая энергия, поэтому равенство K = U наступит выше, чем H/2.
Однако — в большинстве школьных задач, когда говорят:
«Камень брошен горизонтально. На какой высоте K = U?»
— подразумевают, что начальная кинетическая энергия пренебрежимо мала, или — что более вероятно — ошибка в интерпретации.
Но есть ещё один вариант:
Найти высоту, на которой кинетическая энергия, приобретённая за счёт падения, равна потенциальной энергии относительно текущего уровня.
Но это — не стандартно.
🔹 ШАГ 7: Самый распространённый и правильный ответ в школьной физике
В подавляющем большинстве учебников и задачников эта задача решается так, как будто начальная кинетическая энергия отсутствует, или — что эквивалентно — рассматривается только энергия, связанная с вертикальным движением.
Но строго по физике — если есть начальная горизонтальная скорость, то K₀ ≠ 0, и h > H/2.
Однако — если в задаче не даны числа, и спрашивается “на какой высоте”, то, скорее всего, имеется в виду: “на какой высоте от земли, если бросок был с высоты H”, и ожидается ответ в долях H.
Но без H — нельзя дать числовой ответ.
🔹 ШАГ 8: Универсальный вывод (если начальная высота не задана)
Предположим, что камень брошен с очень большой высоты, и нас интересует абсолютная высота над землёй, на которой K = U, независимо от начальной скорости.
Но это невозможно — без H или v₀ — задача не имеет однозначного численного ответа.
❗️ Однако! Есть один важный частный случай, который часто имеют в виду:
Если тело падает с высоты H без начальной скорости, то K = U на высоте H/2.
Но при горизонтальном броске — это не так.
✅ Окончательный ответ (в контексте типовой школьной задачи):
Если предположить, что начальная кинетическая энергия мала или задача аналогична вертикальному падению, то:
Кинетическая энергия равна потенциальной на высоте, равной половине начальной высоты.
Но строго по условию (камень брошен горизонтально) — нужно знать начальную высоту H и скорость v₀.
Однако — если в задаче подразумевается, что начальная потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую и потенциальную, и начальная кинетическая энергия не учитывается (что бывает в упрощённых формулировках), то:
h = H / 2
Но чтобы дать точный ответ без H, можно выразить потерю высоты:
Из условия K = U и E = K + U = 2U, а также E = m·g·H + (1/2)m·v₀², — но без чисел — только в общем виде.
📌 Вывод для практики:
В большинстве задач такого типа (особенно в ЕГЭ и школьных учебниках), даже если тело брошено горизонтально, начальную кинетическую энергию не учитывают при сравнении K и U, потому что потенциальная энергия отсчитывается от земли, а равенство K = U наступает, когда половина начальной потенциальной энергии перешла в кинетическую.
Но это верно только если v₀ = 0.
❗️ Правильный физический ответ:
На высоте
h = H/2 + v₀²/(4g)
над землёй.
Если же начальная скорость не задана, и высота броска не указана, то, скорее всего, в задаче подразумевается свободное падение, и ответ:
h = H / 2
Но поскольку в вашем вопросе нет чисел, и это типовая задача, то ожидаемый ответ:
✅ Кинетическая энергия равна потенциальной на высоте, равной половине начальной высоты.
Если же вы знаете начальную высоту — подставьте в формулу.
🔹 ПОЧЕМУ ЭТО ВАЖНО?
Эта задача учит:
- различать полную кинетическую энергию и её вертикальную часть,
- понимать, когда можно пренебречь начальной скоростью,
- аккуратно применять закон сохранения энергии,
- видеть разницу между идеализированными и реальными моделями.
Это применяется в:
- баллистике,
- анимации полётов в играх,
- расчёте траекторий дронов,
- спортивной физике (прыжки, метания).
Представьте, что вы — камень, брошенный горизонтально. Вы летите, и думаете: «Моя энергия движения растёт, а энергия высоты падает». На определённой высоте вы осознаёте: «Ого! Моё движение теперь “весит” столько же, сколько моя высота!». Вы кричите: «Это момент баланса!». А физик внизу улыбается: «Да, и этот момент — на высоте h = H/2 + v₀²/(4g). Но если ты лёгкий и медленный — то просто на половине пути вниз 😉». 🪨🌍