L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: методика гидравлического расчёта, сложные гидравлические цепи, проблемы расчёта кольцевых сетей, методы контурных расходов, метод узловых потенциалов, Mathcad-15, примеры расчёта.
Введение
Эта статья посвящена одному универсальному методу линеаризации системы нелинейных уравнений при расчёте сложных гидравлических и электрических цепей. Назван "универсальным" методом потому, что по одной и той же итерационной формуле (после замены гидравлических символом на электрические) выполняются совершенно разные расчёты нелинейных схем.
Итерационная формула - общая для всех вариантов расчёта, не меняется вот уже почти 50 лет, хотя в заголовке этой статьи метод расчёта заявлен как новый. Видимо так сложилась судьба этого метода, что несмотря на неоднократные публикации в технических журналах, очень мало людей, занимающихся гидравлическими расчётами, знакомы с ним.
Как решать систему нелинейных уравнений, составленную для расчёта гидравлической схемы замещения ?
Это главный вопрос, с которым неизбежно сталкивались расчётчики гидравлических цепей. Прямых методов расчёта системы нелинейных уравнений нет, поэтому все расчёты являются численными - итерационными. Математиками, начиная со времён Ньютона, разработаны многочисленные методы решения этой задачи. Казалось бы-бери и решай! Конечно, если вы владеете этими методами, если вы сможете написать сложную методику для расчёта и преодолеть все трудности ручного расчёта по этому методу. Поэтому, с середины 1930-х годов параллельно развивались другие методики гидравлического расчёта: инженерные (увязочные) способы решения задачи по методу В. Лобачева и М. Андрияшева, а так же аналоговые (см.л.3) и электрические модели.
Данная статья посвящена именно электрическим моделям на постоянном токе. Как известно, падение напряжения U на линейном омическом сопротивлении R пропорционально силе тока J и равно: U=J*R. В тоже время падение давления dH на гидравлическом сопротивлении Z зависит квадрата расхода Q по формуле: dH=Z*Q^2. Простейшая электромодель для гидравлического расчета кольцевых сетей была предложена американцами Кемпом и Хазеном в далёком 1934 г. В этой модели величина омического сопротивления R изменялось вручную в соответствии с изменением силы тока J, таким образом, что достигалась квадратичная зависимость между падением напряжения U и силой тока J по формуле: U=Ro*J^2.
Как это выполнялось на практике показано на рис.1. Для этого использовался реостат с максимальным сопротивлением Rm (Ом), в котором с помощью ползунка вручную устанавливалось расчётное сопротивление RL по формуле:
Если через реостат пропустить постоянный ток J, то на расчётном сопротивлении RL падение напряжения U будет равно: U=J*RL или U=J*Ro*J=Ro*J^2, т.е. в точности равно падению напряжения U на нелином сопротивлении Ro .
Таким образом можно смоделировать не только электрические схемы с нелинейными сопротивлениями, но и гидравлические, которые за редким исключением всегда являются нелинейными. Конечно, только при условии, если известны ток или падение напряжения в каждой ветви - для электрической схемы и соответственно расход и падение напора в гидравлических схемах. Иначе говоря, когда эти схемы полностью каким-то образом рассчитаны или замерены. Тогда рядом с нелинейной электрической или гидравлической схемой вы сможете положить как аналог электрическую схему с линейными сопротивлениями, подсчитанными по формуле (1) в которой автоматически соблюдаются оба закона Кирхгофа.
Спрашивается, какая же польза от этого метода для нерешённых нелинейных электрических и гидравлических схем ? Польза была одна: это давало уверенность, что в принципе такая задача имеет решение, вероятно потому, что на базовом (низовом) уровне все процессы "в гидравлике и в электрике" носят линейный характер.
Однако, если для перевода любой решённой нелинейной схемы с линейную достаточно было одной итерации, то как показывает опыт прошедших лет перевод нерешённых нелинейных схем в линейные можно осуществить только итерационным методом. Как выходили Кемп и Хазен из этой проблемы, к сожалению, нет никакой информации.
Поэтому, для поиска и анализа возможных вариантов решения этой проблемы я составил небольшую мостовую электрическую схему с нелинейными сопротивлениями (см. рис.2) и на ней решал эту задачу по методу 1934 года, используя уравнение (1).
Для 1-й итерации в каждой ветви схемы рис.2, соблюдая 1-й закон Кирхгофа, были назначены следующие токи (A): Io=4, Io1=1, Io2=1, Io3=3, Io4=3, Io5=2. только, чтобы посмотреть как пойдёт итерационный процесс при задании правильных (не произвольных) токов.
Рис.2 Схема для проверки метода Кемпа и Хазена (расчёт гидравлических схем).
Распечатка программы расчёта схемы рис.2 по методу Кемпа и Хазена (в среде Mathcad)
Результаты расчёта сведены в таблицу 1:
Таблица 1 Результаты расчёта методом Кемпа и Хазена ( с соблюдением 1-го
закона Кирхгофа при назначении правильных токов в ветвях для 1-й итерации)
Примечание: Если установить произвольные начальные токи Io=1 А во всех ветвях схемы, то процесс расчёта зацикливается так же как и в первом варианте (но с другим цифрами).
Итак,в результате расчёта обнаружилась 2-я неприятность для расчётчика: после второй итерации процесс расчёта схемы всегда (не зависимо от начальных данных) зацикливается намертво.
Вероятно поэтому, идея Кемпа и Хазена регулировать величину омического сопротивления в зависимости от тока J (R=f(J)), так чтобы моделировалась квадратичная зависимость dH=Z*Q^2 была навсегда положена в архив технических идей. Зато "ручные" инженерные (увязочные) способы решения задачи по методу В. Лобачева и М. Андрияшева продолжают существовать по настоящее время (даже в методических пособиях для студентов ВУЗов).
Дальнейшие попытки исправить создавшееся положение показали,что оживить расчёт можно только путём усреднения величины тока в каждой ветви, используя формулу:
--------------------------------------------------------------------------------
Именно такой способ моделирования гидравлических схем на электрическом столе, был полностью была реализован в начале 1970-х годов и опубликован в книге Коздобы .Л. А. " Электрическое моделирование явлений тепло и массопереноса" (л.1). Для 1-й итерации задавался ориентировочный расход воздуха в сети для каждого участка, (видимо не соблюдая 1-й закон Кирхгофа) для каждого узла схемы. Линейное сопротивление RL участка сети ( для 1-й итерации) определялся по формуле: RL=Ro*G^n-1 (для турбулентного режима n=2).
Чтобы не было зацикливания процесса итерации ( уже после 2-й итерации) сопротивление RL, рассчитывалось методом усреднения расхода G по 2-м соседним итерациям: RL=Ro*( Gm + Gm-1)*0.5, где: Ro-квадратичное сопротивление участка, m-номер текущей итерации.
Информация о том,что данная методика расчёта была позднее использована в какой -нибудь программе на ЭВМ пока не обнаружена.
Правда, в начале 2000-х годов появились статьи Логинова К.В. и Мызникова А.М. (л.5-л.6), в которых предлагалась формула усреднения величины расхода среды (для участка), вместо усреднения сопротивления по итерационной формуле Коздобы А.Л. Что лучше усреднять расходы или сопротивления- это вопрос удобства. Для работы на электрическом столе, конечно, лучше - сопротивления. Видимо, авторы ничего не знали о методе расчёта Коздобы А.Л., поэтому обошлись в своих диссертациях без всяких ссылок на него.
Программа расчёта схемы рис. 2 по итерационной формуле Коздобы .Л. А приводится в ПРИЛОЖЕНИИ. Результаты расчёта сведены в таблицу 2.
----------------------------------------------------------------------------------------
Совершенно другой способ реализации идеи Кемпа и Хазена (л.2) , выполнен в 1970 году на электрическом расчётном столе, по новой универсальной итерационной формуле, которая без всякого усреднения, обеспечивала сходимость всего процесса расчёта гидравлической схемы. Ниже приводится подробная распечатка этой формулы для гидравлических и электрических расчётов:
Немного позднее в 1972 году, на базе этой итерационной формулы была выполнена первая программа гидравлического расчёта на ЭВМ- Минск-32 инженером Шифриным В.Л. и опубликована статья в журнале "Электротехника" №12 за 1975 год. (см.л.2).
После успешного проведения многочисленных расчётов гидравлических схем естественно возникла идея распространить этот метод и на электрические нелинейные схемы. По аналогии с гидравлическим расчётом была составлена итерационная формула для расчётов нелинейных электрических схем:
Здесь формула для расчёта линейного сопротивления RL каждого участка нелинейной схемы одновременно является итерационной формулой, так как используется для всех итераций, начиная со второй.
Для 1-й итерации, как установила практика расчётов, достаточно использовать формулу (1), задавшись величиной тока J= 1 A (одинаковой для всех участков нелинейной схемы), т.е. фактически численно приравнять величины RL=Ro.
Это становится возможным благодаря уникальному свойству данного метода, а именно: количество итераций и результаты расчёта практически не зависят от заданных начальных значения величин токов для участков в ветвях!
Как подтверждает практика, это правило работает и для гидравлических расчётов.
Такое положение дела с определением начальных значений для 1-й итерации очень понравилось всем кто разрабатывает программы для расчётов электрических и гидравлических схем. В отличие от большинства методик расчёта нелинейных схем (особенно для разных вариантов метода Ньютона) теперь не вообще не надо задумываться: а что же выбрать? Достаточно приравнять RL=Ro или (ZL=Zo) на всех участках нелинейной схемы.
Распечатка программ расчёта схемы рис. 2 по методу Дугинова Л.А. и вывод двух итерационных формул (ZL и RL) приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ .
--------------------------------------------------------------------------------------
ВЫВОДЫ
- Метод Кемпа и Хазена требовал доработки, чтобы избежать зацикливания процесса расчёта сразу после 2-й итерации.
- Коздоба Л.А. после доработки этого метода довёл его до практического использования на электрическом расчётном столе с линейными сопротивлениями. Этот метод вполне был пригоден для расчётов гидравлических и даже электрических нелинейных схем (для ns < 3) на современных ЭВМ.
- Начальные данные для 1-й итерации по методу Коздобы Л.А. могут задаваться в более широком диапазоне чисел, который всё же имеет реальные ограничения. Количество итераций по данному методу зависит от начальных данных.
- Метод расчёта, основанный на итерационной формуле Дугинова Л.А. в отличие от метода Коздобы Л.А., позволяет выполнять расчёты нелинейных электрических схем, в которых показатель степени нелинейности: 1< ns<20.
- Отмечается свойство итерационной формулы Дугинова Л .А - это полная независимость результатов расчёта и количество итераций от величины начальных данных, трудно выполнимая задача для многих современных методов. При этом высокая стабильность процесса итерационного расчёта позволяет включать в нелинейные схемы регуляторы расхода и давления, а также туннельные диоды, имеющие сложные ВАХ.
- Итерационная формула Дугинова Л .А. позволяет создавать программы и проводить расчёты нелинейных схем (как гидравлических так и электрических) на уровне сложных современных и дорогих программ как по классу решаемых задач, так и по надёжности их решения.
ЛИТЕРАТУРА
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972.
- Аврух В. Ю., Дугинов Л. А., Карпушина И. Г., Шифрин В. Л. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
- Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах. – М.: «Энергоатомиздат», 1986. – C. 204.
- Аврух В. Ю., Дугинов Л. А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах. – М.: «Энергоатомиздат»,1991. C. 50–55
- Логинов К.В. Модели и алгоритмы расчетов режимов работы сложных гидравлических сетей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Омск, 2004,137с.
- Мызников А. М. Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей: автореф. кандидатской диссертации.: Тюмень, 2005.
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c
- Дугинов Л.А., О возможности применения регуляторов расходов в новом методе расчёта гидравлических цепей произвольной сложности.Сайт dzen.ru «Про Гидравлику и Электрику». 05.07.2023 г
- Корельштейн Л.Б. О сходимости метода "Прогнозируемого расхода" расчёта гидравлических цепей, Материалы XVIII Всероссийского научного семинара, Автоматизация и информатизация ТЭК. 2023. № 12(605). С. 44–52
- Дугинов Л.А. Сравнение двух современных методов расчёта электрических схем на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями. Сайт dzen.ru «Про Гидравлику и Электрику». 11.12. 2024 г
- Дугинов Л.А. Простая методика расчёта сложных магнитных цепей на постоянном токе в матричной форме (в среде Mathcad). Статья опубликована на Сайте dzen.ru " Про гидравлику и Электрику", 16 мая 2024 г.
------------------------------------------------------------------------------------------
ПРИЛОЖЕНИЕ
Распечатка программы расчёта электрической схемы рис.2 (по формуле Коздобы Л.А. в системе Mathcad).
Таблица 2 Результаты расчёта схемы рис.2 по формуле Коздобы Л.А. при разных величинах показателя степени ns=1---6.
Распечатка программы расчёта электрической схемы рис.2 (по формуле Дугинова Л.А. в системе Mathcad).
Примечание: Электрическая схема (рис.2) и исходные данные для расчёта по формуле Дугинова Л.А. точно такие же как по формуле Коздобы Л.А.
Таблица 3 Результаты расч ёта схемы рис.2 по формуле Дугинова Л.А. при разных величинах показателя степени ns=1---6.
--------------------------------------------------------------------------------------------
ВЫВОДЫ ИТЕРАЦИОННЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАСЧЁТОВ:
ДЛЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ РАСЧЁТОВ.
ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАСЧЁТОВ.
--------------------------------------------------------------------------------------------