Друзья, сегодня у нас — одна из самых красивых задач в механике, где сталкиваются (и уравновешиваются!) две формы энергии: кинетическая — энергия движения, и потенциальная — энергия положения. Тело брошено вверх со скоростью 20 м/с, и на какой-то высоте его «живая сила» движения сравнивается с «запасённой» энергией высоты. Где это происходит? На половине максимальной высоты? На половине пути? Или… совсем в другом месте?
Мы не будем гадать — мы применим закон сохранения механической энергии, запишем уравнения, найдём высоту, и даже объясним, почему ответ получается именно таким — не интуитивно, а строго физически. И да — мы сделаем это максимально подробно, потому что в этой задаче кроется глубокий смысл: энергия не исчезает — она перераспределяется. А момент, когда K = U — это момент гармонии между движением и высотой.
Готовы найти эту «точку баланса»? Тогда — вверх, вслед за телом, с формулами, логикой и законами сохранения!
🔹 ДАНО:
— Начальная скорость тела: v₀ = 20 м/с (вертикально вверх)
— Ускорение свободного падения: g = 10 м/с² (для простоты)
— Сопротивление воздуха — отсутствует → механическая энергия сохраняется
— На искомой высоте: K = U (кинетическая энергия = потенциальной)
Найти:
Высоту h, на которой K = U
🔹 ШАГ 1: Записываем закон сохранения механической энергии
В отсутствие сопротивления воздуха — полная механическая энергия тела сохраняется:
E = K + U = const
В начальный момент (на уровне земли, h = 0):
— Потенциальная энергия U₀ = 0 (принимаем за нулевой уровень)
— Кинетическая энергия K₀ = (1/2)·m·v₀²
→ E = (1/2)·m·v₀²
На высоте h, где K = U:
— Потенциальная энергия U = m·g·h
— Кинетическая энергия K = (1/2)·m·v²
— Но по условию: K = U
→ Значит: K = U = (1/2)·E — потому что E = K + U = U + U = 2U → U = E/2
То есть — на высоте h потенциальная энергия равна половине начальной кинетической энергии.
🔹 ШАГ 2: Записываем уравнение для потенциальной энергии
U = m·g·h = (1/2)·E = (1/2)·(1/2)·m·v₀² = (1/4)·m·v₀²
Сокращаем массу m (она неизвестна, но сокращается):
g·h = (1/4)·v₀²
Выражаем h:
h = v₀² / (4·g)
Подставляем числа:
h = (20)² / (4·10) = 400 / 40 = 10 м
✅ Ответ: на высоте 10 метров кинетическая энергия равна потенциальной
🔹 ШАГ 3: Проверка — найдём максимальную высоту и сравним
Максимальная высота достигается, когда v = 0, то есть K = 0, и вся энергия — потенциальная:
E = U_max = m·g·H
→ (1/2)·m·v₀² = m·g·H
→ H = v₀² / (2·g) = 400 / 20 = 20 м
❗️Итак:
— Максимальная высота H = 20 м
— Искомая высота h = 10 м → ровно половина максимальной высоты
📌 Но — и это важно — не половина пути по времени, и не половина начальной скорости! Только по высоте — половина.
🔹 ШАГ 4: Почему именно половина высоты? Физический смысл
Потому что:
— В начале: вся энергия — кинетическая
— В верхней точке: вся энергия — потенциальная
— Поскольку энергия сохраняется и перераспределяется линейно по высоте (U = mgh — линейно зависит от h), то равенство K = U наступает, когда U = E/2 → h = H/2
💡 Это работает только при отсутствии сопротивления воздуха и только если начальная потенциальная энергия равна нулю.
🔹 ШАГ 5: Проверка через скорость на высоте h
На высоте 10 м потенциальная энергия:
U = m·g·h = m·10·10 = 100·m Дж
Значит, кинетическая энергия тоже 100·m Дж:
K = (1/2)·m·v² = 100·m
→ (1/2)·v² = 100
→ v² = 200
→ v = √200 ≈ 14.14 м/с
Проверим по формуле скорости при подъёме:
v² = v₀² – 2·g·h = 400 – 2·10·10 = 400 – 200 = 200 → v = √200 — ✅ совпадает.
Также можно проверить:
— Начальная энергия: (1/2)·m·400 = 200·m Дж
— На высоте 10 м: U = 100·m, K = 100·m → сумма 200·m — сохраняется ✅
🔹 ШАГ 6: Что если бы начальная высота не была нулевой?
Если бы тело бросали не с земли, а, например, с высоты h₀, то:
E = (1/2)·m·v₀² + m·g·h₀
И условие K = U означало бы:
K = U → (1/2)·m·v² = m·g·h
Но тогда:
E = K + U = 2U = 2·m·g·h
→ (1/2)·m·v₀² + m·g·h₀ = 2·m·g·h
→ h = [ (1/2)·v₀² + g·h₀ ] / (2·g)
То есть высота уже не была бы просто v₀²/(4g) — нужно учитывать начальный уровень. Но в нашей задаче — с земли, так что всё чисто.
🔹 ПОЧЕМУ ЭТО ВАЖНО?
Понимание перераспределения энергии — это основа:
— энергетического подхода в механике (часто проще, чем через силы и ускорения),
— анализа колебательных систем (например, маятник — там тоже K ↔ U),
— расчёта траекторий, высот, скоростей в гравитационном поле,
— проектирования аттракционов, прыжков, спортивных снарядов.
Более того — это тренировка физической интуиции: вы учитесь чувствовать, как энергия «перетекает» из одной формы в другую, и предсказывать поведение системы без сложных расчётов. Это навык, который пригодится не только в физике, но и в инженерии, программировании, даже в финансах — везде, где есть «ресурсы», которые перераспределяются.
Представьте, что вы — это тело, брошенное вверх. Вы летите, чувствуете, как скорость уменьшается, а высота растёт. На 10-метровой отметке вы вдруг осознаёте: «Ого! Моя энергия движения теперь равна энергии моего положения! Я в точке баланса!» — и гордо заявляете: «Я не просто лечу — я демонстрирую закон сохранения энергии в действии!». А потом летите дальше — потому что физика не останавливается на середине 😉.