Сегодня погрузимся в замечательный мир математического анализа и поговорим про 2 основные леммы, связанные с последовательностями! Их доказать можно разными способами, если у вас будут свои идеи, то можете предлагать их в комментариях
Лемма 1 (лемма о монотонной последовательности)
Формулировка: Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Звучит вроде логично, однако доказательство не самое очевидное как может показаться на первый взгляд. Для подобных лемм (или теорем) нам нужны некоторые допущения. В данной случае мы рассмотрим некоторую неубывающую последовательность:
Такое допущение возможно, потому что любую последовательность мы можем расположить от самого наименьшего элемента до самого наибольшего с помощью перестановок. Получив неубывающую последовательность мы с уверенностью можем сказать, что она ограничена снизу (первым элементом последовательности) и сверху(последний элементом)
Следующим шагом мы разбиваем множество всех действительных чисел R на два множества: A и B (это называется Дедекиндовым сечением)
Теперь нам нужно наложить какие-либо условия на эти два множества, иначе вариантов разбить множество R на каких-то два множества существует бесконечное количество. Во множество B мы положим все числа, которые больше каждого элемента нашей последовательности. Тогда множество А будет содержать все остальные числа, включая полностью нашу последовательность.
Пусть число а - рубеж нашего сечения (рубеж - число, которое является либо наибольшим в одном из множеств дедекиндова сечения, либо наименьшим в другом). Тогда получаем:
Мы понимаем, что раз а рубеж, то никакой элемент последовательности не превосходит это число! В самом деле, если какой-то из элементов нашей последовательности будет превосходит рубеж, то по определению (которое мы задали самостоятельно в рамках данного доказательства) наших множеств А и В это означало бы, что этот самый элемент последовательности должен содержаться во множестве В. Пришли к противоречию( Значит все элементы нашей последовательности и правда меньше числа а.
А что если предел, записанный выше на фотографии, неверный? Тогда будет существовать такое число E:
В силу монотонности нашей последовательности эти неравенства будут выполняться для любого n. По определению множества В следует, что число а-Е является его элементом. В то же время число a-E < a, то есть оно принадлежит множеству А (ведь а - рубеж)! Как такое возможно?? Никак, мы пришли к противоречию. Следовательно, предел последовательности равен а при стремлении n к бесконечности. Лемма доказана)
Для второй леммы вспомним, какие последовательности отрезков называются стягивающимися:
Говоря на русском языке, первый пункт означает, что каждый отрезок, начиная со второго, содержится в предыдущем. А второй пункт говорит, что длины отрезков с увеличением номера стремятся к нулю. Это мы держим сейчас в голове для доказательства второй леммы.
Лемма 2 (лемма о стягивающейся последовательности отрезков)
Формулировка: У всякой стягивающейся последовательности отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Так как нам дана стягивающаяся последовательность отрезков, то пункты из определения выше мы принимаем как факт и пользуемся ими для доказательства леммы.
Так как a1≤a2≤...≤an, то последовательность левых границ отрезков - монотонная последовательность. Помимо этого данная последовательность ограничена, ведь an<b1 для любого n. Следовательно, по лемме 1 (из данной статьи) последовательность сходится!
Получаем, что значение данного предела c также будет ≤ b1 (и соответственно любого b)
Видим по данному неравенству, что точка c принадлежит всем отрезкам! А с чего вдруг эта точка единственная? Допустим, что таких точки две: c и d (для определенности c<d)
Мы расширили наше неравенство, включив в него точку d. Пришли к тому, что разность между правыми и левыми границами не имеет предела. Но это не так! Предел имеется из определения стягивающейся последовательности. Значит точка, принадлежащая всем отрезкам только одна! Лемма доказана)
Замечание: Лемма 2 неверна в случае вложенных друг в друга интервалов, длины которых стремятся к нулю, например {(0; 1/n)} не имеет общей точки!