🔹 Условие задачи:
Снаряд вылетает из орудия со скоростью v0=1000м/с .
Цель находится на расстоянии L=10км=10000м по горизонтали.
Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g=10м/с2 .
Вопрос:
Под каким углом α к горизонту нужно направить ствол, чтобы снаряд попал в цель?
Достижима ли цель вообще для данной скорости?
🔹 Решение:
Шаг 1: Формула дальности полёта
Для тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 , дальность полёта (при условии, что начальная и конечная высоты одинаковы) равна:
Это — ключевая формула баллистики. Она получается из умножения горизонтальной скорости v0cosα на время полёта T=g2v0sinα .
Шаг 2: Подставим известные величины
Шаг 3: Решим уравнение
(поскольку синус положителен в I и II четвертях)
Теперь найдём α :
👉 Ответ: возможны два угла — примерно 2,9∘ и 87,1∘ (округляем до десятых градуса)
❗ Но почему два угла?
Потому что в баллистике для одной и той же дальности (если она меньше максимальной) всегда существует два угла:
- низкая траектория — малый угол (снаряд летит почти прямо, быстро долетает),
- высокая траектория — большой угол (снаряд взлетает высоко, долго летит, но тоже попадает в ту же точку).
Это — свойство симметрии функции sin(2α) , которая достигает одного и того же значения при 2α и 180∘−2α .
Шаг 4: Проверим, достижима ли цель вообще
В условии дан комментарий — очень важный! — нужно проверить, существует ли вообще решение.
Максимальная дальность достигается при α=45∘ , тогда sin(90∘)=1 , и:
Цель находится на 10 км — это в 10 раз ближе, чем максимально возможная дальность.
👉 Значит, цель достижима, и даже двумя способами — под малым и под большим углом.
✅ Окончательный ответ:
Ствол нужно направить под углом 2,9∘ (низкая траектория) или 87,1∘ (навесная траектория).
🔹 Итог — почему это важно знать:
Эта задача — не просто про пушки. Она учит:
- Проверять физическую реализуемость решения: если бы sin(2α) получился больше 1 — цель была бы недостижима при данной начальной скорости. Это частая ошибка студентов — решают уравнение, не проверив, возможен ли такой синус.
- Понимать двойственность решений в физике: одна цель — два способа попасть. Это актуально в ракетостроении, спорте, робототехнике.
- Применять тригонометрию с умом: sin(2α)=0,1 — не значит, что α=0,05 . Нужно брать арксинус и делить на 2.
- Оценивать масштабы: снаряд со скоростью 1 км/с может лететь на 100 км — это реалистично для дальнобойной артиллерии (например, “Парижская пушка” в Первой мировой стреляла на 130 км!).
Представьте, что вы — артиллерист-теоретик, который впервые вышел на полигон.
Командир говорит: «Цель на 10 км — стреляй!»
Вы, не раздумывая, направляете ствол под 45° — ведь это “самый дальний угол”, как учили.
Снаряд улетает на 100 км — перелетел в 10 раз.
Командир: «Что за чёрт?!»
Вы: «А что? Формула работает!» Потом вы вспоминаете, что есть два угла — 2,9° и 87,1°.
Под 2,9° — снаряд летит как пуля — почти прямо, с лёгким изгибом.
Под 87,1° — как фейерверк: взлетает почти вертикально, зависает, потом падает… аккурат в цель. Командир выбирает 2,9° — чтобы не ждать 5 минут падения.
А вы записываете в блокнот:
«Физика даёт два решения. Жизнь выбирает то, где меньше стоять» 😉.