Условие задачи:
Бабушка Зинаида Петровна, известная в округе как королева вишнёвых пирогов, нашла свой старый кулинарный рецепт — написанный мелким почерком на потрёпанной бумажке 1973 года. Глаза уже не те, а очки она забыла на даче. В отчаянии она схватила первую попавшуюся лупу — с фокусным расстоянием 10 см — и приложила её вплотную к глазу, чтобы прочитать: «Сахар — 1 стакан, вишня — 2 стакана, любовь — по вкусу».
Вопрос:
Какое угловое увеличение даёт эта лупа, если бабушка держит рецепт на расстоянии наилучшего зрения (25 см от глаза), а лупа прижата вплотную к глазу?
Также объясните, почему именно на таком расстоянии (25 см) принято считать "наилучшим зрением", и как изменится увеличение, если она отодвинет лупу на 5 см от глаза (но оставит рецепт на 25 см от глаза)?
🔍 Решение:
Часть 1: Угловое увеличение лупы при стандартном использовании
Лупа — это собирающая линза, используемая для увеличения углового размера объекта. Угловое увеличение Γ лупы, когда она используется с максимальным комфортом (изображение на расстоянии наилучшего зрения d0=25 см), рассчитывается по формуле:
Γ=Fd0+1
где:
- d0=25 см — расстояние наилучшего зрения (стандартное значение для человеческого глаза),
- F=10 см — фокусное расстояние лупы.
Подставляем:
Γ=10 см25 см+1=2.5+1=3.5
✅ Ответ: угловое увеличение лупы — 3.5×.
Почему 25 см — расстояние наилучшего зрения?
Это усреднённое значение, принятое в оптике. На таком расстоянии нормальный глаз может рассматривать объекты длительное время без утомления аккомодации (напряжения хрусталика). У детей оно может быть меньше (15–20 см), у пожилых — больше (до 40–50 см). Но для расчётов и стандартизации (например, в микроскопах, лупах, очках) берут 25 см — это удобная и универсальная величина.
Часть 2: Что, если лупа отодвинута на 5 см от глаза?
Теперь лупа находится не вплотную к глазу, а на расстоянии 5 см от него. При этом рецепт всё ещё на расстоянии 25 см от глаза → значит, от лупы до рецепта теперь 25−5=20 см.
То есть предмет (рецепт) находится на расстоянии d=20 см от линзы.
Найдём, где формируется изображение — по формуле тонкой линзы:
F1=d1+f1
где:
- F=10 см,
- d=20 см — расстояние от линзы до предмета,
- f — расстояние от линзы до изображения (его мы ищем).
101=201+f1⇒f1=101−201=202−1=201⇒f=20 см
Изображение формируется в 20 см от лупы → а так как лупа сама в 5 см от глаза, то изображение находится на расстоянии 20+5=25 см от глаза! То есть всё ещё на расстоянии наилучшего зрения — глазу комфортно.
Но теперь увеличение — не по стандартной формуле, а по определению углового увеличения:
Γ=θθ′
где:
- θ′ — угол, под которым видно изображение через лупу,
- θ — угол, под которым виден предмет без лупы (на расстоянии 25 см).
Для малых углов (а у нас именно такой случай) можно считать:
Γ≈h/d0h/fэфф=fэффd0
Но здесь fэфф — это расстояние от глаза до изображения? Нет! Внимание — в данном случае изображение находится на 25 см от глаза, как и без лупы. Но предмет был ближе к линзе — и линза его "увеличила".
Правильнее рассуждать так:
Без лупы предмет на 25 см от глаза → угол θ=25h (в радианах, для малых углов).
С лупой: предмет на 20 см от линзы → линза даёт мнимое изображение на 20 см за линзой (в сторону глаза), то есть в 25 см от глаза.
Угловое увеличение — это отношение угла, под которым видно изображение, к углу, под которым виден предмет без лупы на стандартном расстоянии.
Но изображение того же размера, что и предмет? Нет — линза увеличивает!
Линейное увеличение линзы:
M=df=2020=1
Ой! Увеличение равно 1? То есть размер изображения равен размеру предмета?
Да, действительно:
M=df=2020=1
Значит, изображение того же размера, что и предмет, но оно находится на 25 см от глаза — как если бы предмет просто лежал там же, где и лежал!
То есть угловой размер изображения такой же, как у предмета без линзы на 25 см → угловое увеличение = 1.
Но это не может быть правдой — ведь лупа должна увеличивать!
Ошибка в рассуждении? Нет — ошибка в предположении. Мы считаем, что предмет без лупы находится на 25 см от глаза — и с лупой изображение тоже на 25 см от глаза, и размер тот же → увеличения нет.
Но в реальности, когда мы используем лупу, мы подносим предмет ближе к глазу, чем 25 см, чтобы получить увеличение. В стандартной формуле Γ=Fd0+1 подразумевается, что предмет находится в фокальной плоскости линзы (или чуть ближе), и изображение уходит на бесконечность (или на d0 ).
В нашем случае, когда предмет на 20 см, а линза на 5 см от глаза — мы получаем изображение на 25 см от глаза, но без увеличения размера. То есть лупа в данном случае работает просто как "переносчик" изображения — без увеличения.
👉 Вывод: если лупу отодвинуть от глаза, но оставить предмет на 25 см от глаза, то при d=20 см и F=10 см — увеличение отсутствует. Лупа не увеличивает — она просто позволяет видеть предмет чётко, не напрягая глаз.
А если бы мы хотели сохранить увеличение?
Чтобы сохранить увеличение 3.5×, нужно было бы подвинуть сам рецепт ближе к лупе — так, чтобы он оказался в фокальной плоскости (на 10 см от лупы). Тогда изображение ушло бы на бесконечность (глазу комфортно смотреть вдаль), и увеличение было бы:
Γ=Fd0=1025=2.5
(если изображение на бесконечности — "+1" не добавляется)
Или, если хотим изображение на 25 см от глаза — ставим предмет чуть ближе фокуса, и получаем Γ=Fd0+1=3.5 .
✅ Итоговый ответ:
- Угловое увеличение при использовании лупы вплотную к глазу, с предметом на 25 см от глаза → 3.5×.
- Если лупу отодвинуть на 5 см от глаза (предмет остаётся на 25 см от глаза → 20 см от лупы), то увеличение = 1× — лупа не увеличивает, а лишь проецирует изображение на комфортное расстояние.
- Расстояние 25 см — стандарт "наилучшего зрения", потому что на нём нормальный глаз видит без напряжения.
🧁 Бонус от бабушки Зинаиды Петровны:
«А вы, милые, не забывайте — в физике, как и в пирогах: если переборщить с увеличением — получите размытую картину. А если недоложить — ничего не разглядите. Надо точно по рецепту!»