Всем привет! На очереди у нас дифференциальные уравнения. На примере задачи из сборника Филиппова, мы разберем алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений.
Сначала мы всегда должны определить тип уравнения (однородное, Риккати, в полных дифференциалах и другие). Для определения однородного дифференциального уравнения существует следующий способ:
Проще говоря, перед переменными в уравнение мы вставляем скаляр, совершаем с ним необходимые операции (например, возведение в степень, если переменная изначально стоит в какой-то степени) и смотрим на то, как меняется функция. Обратимся теперь к нашей задаче и проверим данным способом однородность уравнения (M=y^2-2xy ; N=x^2).
Мы убедились в однородности уравнения. Теперь можем приступить к его решению. Для этого существует типичная замена переменных для однородных дифференциальных уравнений:
После замены переменной y главное не забыть заменить дифференциал dy. При подстановке мы получаем дифференциал произведения, который раскрываем как производную произведения. Далее мы подставляем все данные с учетом замены в начальное уравнение
Суть подобной замены переменных в том, что получить уравнение с разделяющимися переменными, которые изучаются в первую очередь при изучении дифференциальных уравнений. Для этого приводим подобные слагаемые и разделяем переменные x и t по разные стороны равенства.
Очень важно не забыть проверить частный случай при делении всего уравнения на t^2-t. Для этого рассматриваем случай t^2-t=0 и делаем обратную замену. В конце решения мы впишем получившиеся корни в ответ.
При решении интегралов важно помнить табличные значения и тот факт, что дробь из правого интеграла разбивается на сумму двух дробей. Затем считаются интегралы от каждой дроби в отдельности:
Далее мы считаем интегралы и не забываем о том, что под знаком дифференциала можно прибавлять и вычитать любые константы и при этом значение интеграла не будет меняться. Затем мы пользуемся свойствами логарифмов о сумме и разности, чтобы в итоге получить один логарифм слева и один справа.
Остается избавиться от знака логарифма в обеих частях равенства и вернуться к начальным переменным x и y (сделать обратную замену).
Все! Теперь нам остается записать ответ, не забыв при этом два частных решения, полученные выше. Если присмотреться, то можно заметить, что корень y=x входит в семейство решений Cy=x(y-x), то есть его можно не выписывать в ответ.