Эта задача — про парциальные давления, закон Дальтона, изотермическое сжатие и почему при сжатии “влага выдавливается”.
Воздух изотермически сжали до объёма 4 л.
Какая масса воды сконденсировалась?
Общее давление в сосуде в начальный момент = 100 кПа.
Давление насыщенных паров при 27°C = 3.6 кПа.
🔍 Подробное решение
📜 Дано:
- Начальный объём: V₁ = 10 л = 0.01 м³
- Конечный объём: V₂ = 4 л = 0.004 м³
- Температура: T = 27°C = 300 K = const (изотермически!)
- Общее начальное давление: P_общ₁ = 100 кПа = 100 000 Па
- Давление насыщенного пара при 27°C: P_н = 3.6 кПа = 3600 Па
- Относительная влажность: φ = 40% = 0.4
⚙️ Часть 1: Найдём парциальное давление водяного пара вначале
φ = P_п / P_н → P_п₁ = φ · P_н = 0.4 · 3600 = 1440 Па
⚖️ Часть 2: Найдём парциальное давление сухого воздуха вначале
По закону Дальтона:
P_общ = P_возд + P_п
→ P_возд₁ = P_общ₁ – P_п₁ = 100 000 – 1440 = 98 560 Па
🔄 Часть 3: Изотермическое сжатие — как меняются давления?
Температура постоянна → для каждого газа отдельно — закон Бойля-Мариотта:
P·V = const
👉 Для сухого воздуха (его масса не меняется):
P_возд₁ · V₁ = P_возд₂ · V₂
→ P_возд₂ = P_возд₁ · V₁ / V₂ = 98 560 · 10 / 4 = 246 400 Па
👉 Для водяного пара — если бы он не конденсировался — было бы:
P_п₂' = P_п₁ · V₁ / V₂ = 1440 · 10 / 4 = 3600 Па
Но! 3600 Па — это как раз давление НАСЫЩЕННОГО пара при 27°C → значит, при сжатии пар достиг насыщения — и дальнейшее сжатие вызывает конденсацию.
👉 Поэтому — в конечном состоянии пар — насыщенный:
P_п₂ = P_н = 3600 Па
🧮 Часть 4: Найдём массу пара в начале и в конце
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
P·V = (m / M) · R · T → m = (P·V·M) / (R·T)
Для воды: M = 0.018 кг/моль, R = 8.31 Дж/(моль·К)
➤ Масса пара в начале:
m₁ = (P_п₁ · V₁ · M) / (R · T) = (1440 · 0.01 · 0.018) / (8.31 · 300)
Считаем:
Числитель: 1440 · 0.01 · 0.018 = 0.2592
Знаменатель: 8.31 · 300 = 2493
m₁ = 0.2592 / 2493 ≈ 0.000104 кг = 0.104 г
➤ Масса пара в конце (насыщенный пар):
m₂ = (P_п₂ · V₂ · M) / (R · T) = (3600 · 0.004 · 0.018) / (8.31 · 300)
Считаем:
Числитель: 3600 · 0.004 · 0.018 = 0.2592
Знаменатель: 2493
m₂ = 0.2592 / 2493 ≈ 0.000104 кг = 0.104 г
👉 Ой! Получилось одинаково? Но это — совпадение чисел, потому что:
P_п₁·V₁ = 1440·0.01 = 14.4
P_п₂·V₂ = 3600·0.004 = 14.4 → одинаковые произведения!
👉 Но! Это не ошибка — это следствие того, что пар стал насыщенным именно при сжатии до V₂.
👉 Однако — масса воды, которая могла бы быть в виде пара при V₂ без конденсации — была бы больше!
Но у нас — реальная масса в конце — только насыщенный пар → избыток сконденсировался.
👉 Правильнее — найти, сколько пара “поместилось бы” без конденсации — и вычесть реальную массу.
➤ Масса, которая “хотела бы быть” в виде пара при V₂ (если бы не конденсация):
m_пред = (P_п₂' · V₂ · M) / (R · T) = (3600 · 0.004 · 0.018) / (8.31 · 300) = 0.104 г — тот же расчёт.
👉 Но! P_п₂' = 3600 Па — это и есть P_н → значит, масса, “поместившаяся” в виде насыщенного пара — в точности m₂ = 0.104 г.
А начальная масса — тоже 0.104 г → Δm = 0?
👉 Нет! Ошибка в интерпретации.
✅ Правильный подход: масса пара ДОЛЖНА была бы увеличиться при сжатии — но не смогла — потому что достигла насыщения.
На самом деле:
- При сжатии без конденсации — масса пара остаётся той же, но давление растёт → при V₂ давление “хотело бы быть” 3600 Па — и это ровно давление насыщения → конденсации ещё нет → масса не изменилась.
👉 Но в условии — сжали до 4 л — и спрашивают — сколько сконденсировалось.
👉 Если при сжатии до 4 л — давление пара стало ровно 3600 Па — то конденсации ещё не произошло — потому что насыщение только достигнуто, но не превышено.
👉 Конденсация начинается, когда P_п > P_н — но у нас — P_п = P_н → на границе насыщения → масса не изменилась.
✅ Но! Внимание: в условии — “воздух изотермически сжали до объёма 4 л” — и спрашивают — сколько сконденсировалось.
👉 Значит, предполагается, что при сжатии пар стал насыщенным — и избыток сконденсировался.
👉 Но в нашем расчёте — масса в начале и в конце — одинакова → Δm = 0.
👉 Почему? Потому что при сжатии до 4 л — пар достиг насыщения — но не превысил его → конденсации нет.
👉 Чтобы была конденсация — нужно сжать дальше — например, до 3 л — тогда:
P_п' = 1440 · 10 / 3 = 4800 Па > 3600 Па → конденсация.
👉 Но в условии — сжали до 4 л → P_п = 3600 Па = P_н → конденсации нет.
✅ Ответ: Масса сконденсировавшейся воды = 0 г
🧠 Но! Если бы сжали до меньшего объёма — например, до 3 л — тогда:
P_п' = 1440 · 10 / 3 = 4800 Па > 3600 Па → конденсация.
Масса “хотела бы быть”: m' = (4800 · 0.003 · 0.018) / (8.31 · 300) = (0.2592) / 2493 ≈ 0.104 г — опять совпадение?
Нет — 4800 · 0.003 = 14.4 → тот же числитель → снова 0.104 г.
👉 Почему? Потому что P_п₁·V₁ = const = 14.4 → при любом V — m = (14.4 · M) / (R·T) = const.
👉 Значит, масса пара не меняется при сжатии — пока не начнётся конденсация.
👉 Конденсация начнётся, когда P_п > P_н → V < V_нас, где:
P_п₁·V₁ / V_нас = P_н → V_нас = P_п₁·V₁ / P_н = 1440·0.01 / 3600 = 0.004 м³ = 4 л
👉 То есть — при V = 4 л — пар только достиг насыщения → конденсации нет.
✅ Окончательный ответ: 0 грамм
📊 Сводный ответ:
Масса сконденсировавшейся воды = 0 г
😄 Как объяснить это другу в лаборатории?
«Представь, что водяной пар — это толпа людей в автобусе.
При 40% влажности — в автобусе “свободно”.
Ты начинаешь сжимать автобус — люди сближаются.
При объёме 4 литра — автобус “полон до отказа” — но никто ещё не вытеснен.
Только если сжать дальше — “лишние” люди выпрыгнут — это и есть конденсация.
А пока — все на месте.
Физика говорит: “Хочешь дождь — сожми сильнее.
Хочешь сухо — остановись на 4 литрах 😉”»
🎓 Почему это важно?
Эта задача — прекрасный пример:
- закона Дальтона и парциальных давлений,
- изотермического процесса для смеси газов,
- условия начала конденсации,
- и того, почему “кажется, что должно сконденсироваться” — на самом деле не сконденсировалось, если давление не превысило насыщение.
А пока — сожмите воздух.
Посчитайте давление.
Проверьте насыщение.
И улыбнитесь — вы только что остановились на грани конденсации. 💧🔬