Эта задача — про термодинамику, работу газа, интегралы и почему “раздувание” — это физическая работа.
(Термодинамика, pV-диаграмма, интеграл и почему “газ работает, даже если ничего не крутит”)
📜 Условие:
В цилиндре под поршнем находится идеальный газ.
Поршень может двигаться без трения.
Газ расширяется — медленно и плавно — от объёма V₁ = 1 л до V₂ = 3 л.
Давление газа не постоянно — оно падает по закону p = 1000 / V (p в кПа, V в литрах).
Вы думаете:
«Как рассчитать работу? Ведь давление меняется!»
Вопросы:
- Почему газ совершает работу при расширении — даже если не вращает турбину?
- Как рассчитать работу, если давление — не постоянное? Какую роль играет pV-диаграмма?
- Чему равна работа газа при расширении от 1 л до 3 л по закону p = 1000 / V?
- Что означает знак работы — и почему в термодинамике он “наоборот”?
- Бонус: Почему при адиабатическом расширении температура падает — и как это связано с работой?
(Данные:
— p = 1000 / V (p в кПа, V в л)
— V₁ = 1 л, V₂ = 3 л
— 1 л·кПа = 1 Дж)
🔍 Подробное решение
⚙️ Часть 1: Почему газ совершает работу при расширении?
Потому что газ давит на поршень — и смещает его → сила × перемещение = работа.
👉 Даже если нет турбины — работа всё равно совершается — против внешнего давления, против пружины, против атмосферы — или просто увеличивая объём.
✅ Ответ 1:
Газ давит на поршень → поршень смещается → A = F·Δx = p·ΔV → работа совершена — даже если “ничего не крутит”.
📈 Часть 2: Как рассчитать работу при переменном давлении? Роль pV-диаграммы
Если давление меняется — работа равна площади под кривой p(V) на pV-диаграмме.
A = ∫ p·dV — от V₁ до V₂
👉 Это — геометрический смысл интеграла — площадь под графиком.
✅ Ответ 2:
Работа = ∫ p·dV — площадь под кривой на pV-диаграмме.
При постоянном p — прямоугольник. При переменном — любая фигура.
🧮 Часть 3: Расчёт работы при p = 1000 / V
A = ∫ p·dV = ∫ (1000 / V) dV — от 1 до 3
A = 1000 · ∫ dV/V = 1000 · [ln V]₁³ = 1000 · (ln 3 – ln 1) = 1000 · ln 3
ln 3 ≈ 1.0986 → A ≈ 1000 · 1.0986 = 1098.6 Дж
✅ Ответ 3:
A = 1000 · ln(3) ≈ 1098.6 Дж
➕ Часть 4: Что означает знак работы — и почему “наоборот”?
В термодинамике — работа, совершённая ГАЗОМ, считается ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ.
👉 Если газ расширяется → он совершает работу НАД окружением → A > 0.
Если газ сжимают → работа совершается НАД газом → A < 0.
✅ Ответ 4:
A > 0 — если газ расширяется (работает сам).
A < 0 — если газ сжимают (работают над ним).
Это — договорённость термодинамики — “с точки зрения газа”.
❄️ Часть 5: Бонус — почему при адиабатическом расширении температура падает?
Потому что:
- Q = 0 (нет теплообмена),
- ΔU = A (первый закон),
- Газ совершает работу → A > 0 → ΔU < 0 → внутренняя энергия ↓ → температура ↓.
✅ Ответ 5:
При адиабатическом расширении — Q=0 → ΔU = A.
Газ совершает работу → A > 0 → ΔU < 0 → T ↓.
📊 Сводная таблица:
1. Почему газ совершает работу?
Давит на поршень → смещает его → A = p·ΔV — даже без турбины.
2. Как рассчитать при p≠const?
A = ∫ p·dV — площадь под кривой на pV-диаграмме.
3. Работа при p=1000/V?
A = 1000·ln(3) ≈ 1098.6 Дж
4. Знак работы?
A > 0 — газ расширяется (работает сам). A < 0 — сжимают (работают над ним).
5. Почему T ↓ при адиабатическом расширении?
Q=0 → ΔU = A > 0 → ΔU < 0 → T ↓.
😄 Как объяснить это другу в лаборатории?
«Представь, что газ — это толпа людей, толкающих стену.
Стена — поршень.
Если стена отъезжает — люди “работают” — тратят энергию.
Чем дальше отъехала — тем больше работа.
А если давление падает — они толкают всё слабее — но всё равно “двигают стену”.
Физика говорит: “Хочешь считать работу — рисуй график.
Хочешь холод — давай расширяться без подогрева 😉”»
🎓 Почему это важно?
Эта задача — прекрасный пример:
- первого закона термодинамики,
- геометрического смысла интеграла,
- работы в термодинамике,
- и того, почему “кажется, что просто увеличился объём” — на самом деле совершена работа, и газ остыл.
А пока — представьте газ под поршнем.
Нарисуйте pV-диаграмму.
Посчитайте площадь.
И улыбнитесь — вы только что совершили работу… мысленно. 💨📊