Эта задача — про силу тяжести, сопротивление воздуха, терминальную скорость и почему “чем выше — тем быстрее” работает только до определённого предела.
Сила тяжести, сопротивление воздуха, терминальная скорость и почему капля не убивает вас при падении
📜 Условие:
Капля дождя образуется в облаке на высоте 2000 м и начинает падать.
Сначала она разгоняется, но через некоторое время — падает с постоянной скоростью.
Вы замечаете — даже при сильном дожде — капли не “бьют”, а мягко стучат по крыше.
Вы думаете:
«Почему? Ведь падает с километровой высоты!»
Вопросы:
- Почему капля не падает с ускорением g всё время? Какую роль играет сопротивление воздуха?
- Что такое “терминальная скорость” — и когда она достигается?
- Как рассчитать терминальную скорость капли? Приведите формулу и пример.
- Зависит ли она от размера капли? Почему крупный дождь “бьёт сильнее”?
- Бонус: Почему в вакууме капля разогналась бы до 200 м/с — и как это связано с энергией?
(Данные:
— Радиус капли: r = 2 мм = 0.002 м
— Плотность воды: ρ_в = 1000 кг/м³
— Плотность воздуха: ρ_а = 1.2 кг/м³
— Коэффициент лобового сопротивления: Cₓ = 0.5 (для сферы)
— g = 10 м/с²
— Объём шара: V = 4/3·π·r³
— Площадь сечения: S = π·r²)
🔍 Подробное решение
💨 Часть 1: Почему капля не падает с ускорением g всё время?
Потому что по мере роста скорости — сила сопротивления воздуха растёт (∝ v²) — и в какой-то момент уравновешивает силу тяжести.
F_тяж = m·g
F_сопр = Cₓ · ρ_а · v² · S / 2
Когда F_сопр = F_тяж → a = 0 → v = const → терминальная скорость.
✅ Ответ 1:
Потому что сила сопротивления воздуха растёт с v² → в какой-то момент = силе тяжести → ускорение = 0 → скорость стабилизируется.
⚖️ Часть 2: Что такое терминальная скорость — и когда достигается?
Терминальная скорость — это максимальная скорость падения, при которой сила сопротивления = силе тяжести.
Достигается, когда ускорение становится = 0 — обычно через несколько секунд падения (для капли — ~5–10 м пути).
✅ Ответ 2:
Это — скорость, при которой F_сопр = F_тяж → a = 0 → v = const.
Достигается быстро — за несколько метров падения.
🧮 Часть 3: Расчёт терминальной скорости
Приравниваем силы:
m·g = Cₓ · ρ_а · v² · S / 2
Масса капли:
m = ρ_в · V = ρ_в · (4/3)·π·r³
Площадь сечения:
S = π·r²
Подставляем:
ρ_в · (4/3)·π·r³ · g = Cₓ · ρ_а · v² · π·r² / 2
Сокращаем π и r²:
ρ_в · (4/3)·r · g = Cₓ · ρ_а · v² / 2
→ v² = (8 · ρ_в · r · g) / (3 · Cₓ · ρ_а)
→ v = √[ (8 · ρ_в · r · g) / (3 · Cₓ · ρ_а) ]
Подставляем:
ρ_в = 1000, r = 0.002, g = 10, Cₓ = 0.5, ρ_а = 1.2
v = √[ (8 · 1000 · 0.002 · 10) / (3 · 0.5 · 1.2) ] = √[ 160 / 1.8 ] = √88.89 ≈ 9.43 м/с
👉 Это — ~34 км/ч — как скорость велосипедиста.
✅ Ответ 3:
v = √[ (8 · ρ_в · r · g) / (3 · Cₓ · ρ_а) ]
При r=2 мм → ~9.4 м/с (34 км/ч) — безопасно для человека.
🌧️ Часть 4: Зависит ли от размера капли? Почему крупный дождь “бьёт”?
Да, сильно зависит.
Из формулы:
v ∝ √r
👉 Чем больше радиус — тем выше терминальная скорость.
Пример: крупная капля — r = 4 мм
v = √[ (8·1000·0.004·10) / (3·0.5·1.2) ] = √[ 320 / 1.8 ] = √177.78 ≈ 13.3 м/с (48 км/ч)
👉 Удар сильнее — энергия E = m·v²/2 — растёт и с массой, и с v².
✅ Ответ 4:
Да — v ∝ √r → крупные капли падают быстрее.
Плюс — масса ↑ → энергия удара ↑ → “бьёт сильнее”.
🌌 Часть 5: Бонус — почему в вакууме капля разогналась бы до 200 м/с?
Потому что без воздуха — нет сопротивления → капля падает с ускорением g → скорость растёт до удара.
v = √(2·g·h) — при h = 2000 м:
v = √(2·10·2000) = √40 000 = 200 м/с (720 км/ч!)
👉 При ударе — E = m·v²/2 — огромная энергия → капля “взорвалась” бы, как пуля.
✅ Ответ 5:
В вакууме — нет сопротивления → капля падает с a=g → v = √(2gh) = 200 м/с при h=2000 м.
Энергия удара — огромна → капля “разбивается” с силой пули.
📊 Сводная таблица:
1. Почему не падает с a=g?
Сопротивление воздуха растёт → уравновешивает mg → a=0.
2. Что такое терминальная скорость?
Скорость, при которой F_сопр = F_тяж → a=0 → v=const. Достигается быстро.
3. Формула и расчёт?
v = √[ (8·ρ_в·r·g) / (3·Cₓ·ρ_а) ]→ при r=2 мм →9.4 м/с (34 км/ч).
4. Зависит от размера?
Да —v ∝ √r→ крупные капли падают быстрее → “бьют сильнее”.
5. Почему в вакууме — 200 м/с?
Нет сопротивления → a=g → v=√(2gh)=200 м/с → энергия огромна.
😄 Как объяснить это другу под дождём?
«Представь, что капля — это парашютист без парашюта.
Сначала он падает быстро — но воздух “ловит” его — и он летит с постоянной скоростью.
Маленькая капля — как ребёнок — падает медленно.
Большая — как дядька — падает быстрее и “бухает” сильнее.
А если бы не было воздуха — капля врезалась бы, как метеорит.
Физика говорит: “Хочешь дождь — благодари воздух.
Хочешь метеоритный дождь — убери атмосферу 😉”»
🎓 Почему это важно?
Эта задача — прекрасный пример:
- динамики движения с сопротивлением,
- установления равновесия сил,
- практического применения терминальной скорости,
- и того, почему “кажется, что должно быть больно” — на самом деле безопасно, благодаря физике воздуха.
А пока — выйдите под дождь.
Посчитайте скорость капли.
Послушайте стук.
И улыбнитесь — вы только что испытали терминальную скорость на себе. 🌧️⏱️