Эта задача — про линейное и объёмное тепловое расширение, термические напряжения, компенсаторы и почему инженеры оставляют зазоры — даже если “кажется, что всё должно быть плотно”.
Термические напряжения, модуль Юнга, компенсаторы и инженерные решения
📜 Условие:
Железная дорога построена зимой при температуре −20°C.
Рельсы — стальные, длиной 25 м каждый, уложены вплотную друг к другу — без зазоров.
Летом температура поднимается до +40°C → рельсы нагреваются и удлиняются.
Но… они не могут свободно расшириться — потому что жёстко закреплены шпалами и стыками.
Результат: рельсы “выпучиваются” — образуют волны или изгибы — опасное явление, называемое “выброс пути”.
Вопросы:
- На сколько удлинился бы один рельс при нагреве от −20°C до +40°C, если бы мог свободно расширяться?
- Почему он не может расшириться — и что происходит вместо этого?
- Как рассчитать термическое напряжение в рельсе, если расширение запрещено?
- При каком напряжении сталь начинает пластически деформироваться — и что это значит для рельса?
- Бонус: Как инженеры предотвращают “выброс пути”? Почему современные рельсы укладывают “бесстыковым” способом — и как это работает?
(Данные:
— Коэффициент линейного расширения стали: α = 1.2·10⁻⁵ 1/°C
— Модуль Юнга стали: E = 2·10¹¹ Па
— Предел текучести стали: σ_т = 3·10⁸ Па
— Длина рельса: L₀ = 25 м
— ΔT = 60°C)
🔍 Подробное решение
📏 Часть 1: На сколько удлинился бы рельс при свободном расширении?
Формула линейного расширения:
ΔL = α·L₀·ΔT
Подставляем:
ΔL = 1.2·10⁻⁵ · 25 · 60 = 1.2·10⁻⁵ · 1500 = 0.018 м = 1.8 см
✅ Ответ 1:
При свободном расширении — рельс удлинился бы на 1.8 см.
👉 Кажется, немного — но на километре пути — это 72 см — уже критично!
⚠️ Часть 2: Почему не может расшириться — и что происходит?
Потому что рельсы жёстко закреплены — шпалами, стыками, балластом.
Если удлинение невозможно — в материале возникают внутренние термические напряжения.
👉 Сталь “хочет” удлиниться — но не может → сжимается упруго → накапливает потенциальную энергию → если напряжение превышает предел текучести — пластическая деформация → рельс изгибается, “выпучивается” — чтобы “впихнуть” лишнюю длину.
✅ Ответ 2:
Рельс не может расшириться из-за жёсткого крепления → возникают термические напряжения → при превышении предела текучести — пластическая деформация → рельс изгибается (“выброс пути”).
🧮 Часть 3: Расчёт термического напряжения
Если тело не может расшириться — возникает механическое напряжение, эквивалентное тому, чтобы сжать его на ΔL.
Напряжение:
σ = E·ε
где ε — относительная деформация = ΔL / L₀ = α·ΔT
→ σ = E·α·ΔT
Подставляем:
σ = 2·10¹¹ · 1.2·10⁻⁵ · 60 = 2·10¹¹ · 7.2·10⁻⁴ = 1.44·10⁸ Па
✅ Ответ 3:
Термическое напряжение: σ = E·α·ΔT = 144 МПа
🛠️ Часть 4: Предел текучести и пластическая деформация
Предел текучести стали: σ_т = 300 МПа
Наше напряжение: 144 МПа < 300 МПа → упругая деформация — рельс не должен пластически деформироваться.
👉 Но! В реальности:
- Напряжения локально могут быть выше (из-за неоднородностей, изгибов, коррозии),
- При циклических нагрузках (поезда) — возможна усталостная деформация,
- При солнечном нагреве — температура может быть выше +40°C → ΔT > 60°C → σ > 144 МПа,
- При дефектах монтажа — напряжения концентрируются.
👉 Если σ > σ_т — сталь начинает течь — рельс изгибается без разрушения — это и есть “выброс пути”.
✅ Ответ 4:
Предел текучести стали — 300 МПа.
Расчётное напряжение — 144 МПа — ниже предела → должна быть только упругая деформация.
Но в реальности — из-за локальных перегрузок, циклических напряжений, перегрева — возможна пластическая деформация → “выброс пути”.
🛤️ Часть 5: Бонус — как инженеры предотвращают это?
➤ Раньше — оставляли зазоры между рельсами:
ΔL = 1.8 см → оставляли зазор ~2 см → при нагреве — рельс удлиняется → зазор сокращается → напряжений нет.
👉 Минус: стук колёс на стыках, износ, шум.
➤ Сейчас — “бесстыковой путь”:
- Рельсы сваривают в непрерывную нить длиной в километры,
- Укладывают при “нейтральной температуре” — средней между минимумом и максимумом (например, +15°C),
- Закрепляют очень жёстко — чтобы даже при расширении/сжатии — не было смещений,
- Используют специальные компенсаторы и подвижные опоры на мостах.
👉 При нагреве — рельс хочет удлиниться — но жёсткое крепление не даёт → возникает сжимающее напряжение, но в пределах упругости → при остывании — напряжение исчезает.
✅ Ответ 5:
Раньше — оставляли температурные зазоры.
Сейчас — бесстыковой путь: рельсы сваривают, укладывают при “нейтральной температуре”, закрепляют жёстко → термические напряжения остаются в упругой зоне → деформаций нет.
📊 Сводная таблица:
1. Удлинение при свободном расширении?
ΔL = α·L₀·ΔT = 1.8 см
2. Почему не может расшириться?
Жёсткое крепление → возникают термические напряжения → при превышении предела текучести — пластическая деформация → “выброс пути”.
3. Термическое напряжение?
σ = E·α·ΔT = 144 МПа
4. Пластическая деформация?
При σ > σ_т (300 МПа) — да. В реальности — возможно из-за локальных перегрузок.
5. Как предотвращают?
Раньше — зазоры. Сейчас — бесстыковой путь: сварка, укладка при “нейтральной температуре”, жёсткое крепление → напряжения в упругой зоне.
😄 Как объяснить это машинисту?
«Представь, что рельс — это гигантская пружина.
Зимой она сжата. Летом — хочет растянуться.
Если не дать ей растянуться — она “взрывается” — гнётся, как змея.
Раньше — оставляли щели — как “двери для пружины”.
Сейчас — делают пружину настолько прочной и правильно установленной — что она “терпит” и не гнётся.
Физика говорит: “Хочешь ровные рельсы — считай температуру.
Хочешь спокойную езду — не дави на стыки 😉”»
🎓 Почему это важно?
Эта задача — прекрасный пример:
- теплового расширения в инженерии,
- роли термических напряжений,
- пластической деформации и предела текучести,
- и того, почему “кажется, что металл — жёсткий” — но он “дышит” с температурой.
А пока — посмотрите на рельсы.
Они не просто лежат.
Они “дышат” с температурой.
И физика — их невидимый страж. 🛤️💙