Эта задача — про цепочку, соскальзывающую со стола, и почему она разгоняется, как поезд, хотя “ничто её не тянет”.
Здесь — динамика системы с переменной массой, сила тяжести и красивое дифференциальное уравнение.
Переменная масса, сила тяжести и уравнение движения
📜 Условие:
На гладком столе лежит гибкая однородная цепочка длиной L и массой m.
Один конец цепочки свешивается с края стола — длина свешивающейся части = x₀ (в начальный момент).
Цепочку отпускают — и она начинает соскальзывать под действием силы тяжести.
Вопросы:
- Почему цепочка начинает двигаться? Какая сила её “тянет”?
- Как записать уравнение движения цепочки? Почему масса в F=ma — переменная?
- Как найти скорость цепочки как функцию длины свешивающейся части x(t)?
- С каким ускорением движется цепочка? Зависит ли оно от x?
- Бонус: Что изменится, если стол не гладкий — есть трение?
(Данные:
— Длина цепочки: L
— Масса: m → линейная плотность λ = m/L
— Начальная длина свешивающейся части: x₀
— Ускорение свободного падения: g
— Трением о стол — сначала пренебрегаем)
🔍 Подробное решение
⚖️ Часть 1: Почему цепочка движется? Какая сила “тянет”?
Потому что свесившаяся часть цепочки имеет вес — и тянет за собой остальную часть.
Сила, приводящая цепочку в движение:
F = m_свес·g = λ·x·g
где x — длина свешивающейся части в текущий момент.
👉 Чем больше x — тем больше сила → движение ускоряется.
✅ Ответ 1:
Сила тяжести, действующая на свесившуюся часть цепочки, тянет всю цепочку вниз.
F = λ·x·g — и растёт по мере соскальзывания.
📈 Часть 2: Уравнение движения — почему масса переменная?
Второй закон Ньютона: F = dp/dt = d(m·v)/dt
Но здесь — вся цепочка движется как единое целое — то есть, все звенья имеют одинаковую скорость v → можно считать, что масса всей цепочки m = const, и уравнение:
F = m·a
где F — сила, действующая на всю цепочку = вес свесившейся части = λ·x·g
→ λ·L·a = λ·x·g
→ a = (g/L)·x
👉 Ускорение пропорционально x — и растёт по мере падения!
✅ Ответ 2:
Хотя масса свешивающейся части растёт — вся цепочка движется как единое целое → можно использовать F = m·a, где m = const = масса всей цепочки.
Уравнение: a = (g/L)·x
🧮 Часть 3: Скорость как функция x
У нас есть:
a = dv/dt = (g/L)·x
Но нам нужно v(x) — скорость как функцию координаты.
Используем подстановку:
dv/dt = dv/dx · dx/dt = v·dv/dx
→ v·dv/dx = (g/L)·x
Разделяем переменные:
v·dv = (g/L)·x·dx
Интегрируем:
∫ v dv = (g/L) ∫ x dx
→ v²/2 = (g/L)·x²/2 + C
Начальные условия: при x = x₀ → v = 0
0 = (g/L)·x₀²/2 + C → C = – (g/(2L))·x₀²
→ v²/2 = (g/(2L))·(x² – x₀²)
→ v = √[ (g/L)·(x² – x₀²) ]
✅ Ответ 3:
v(x) = √[ (g/L)·(x² – x₀²) ]
👉 Чем больше свесилась — тем быстрее движется.
📉 Часть 4: Ускорение — зависит ли от x?
Да — мы уже получили:
a = (g/L)·x
👉 Ускорение линейно растёт с x — чем больше цепочка свесилась — тем быстрее она разгоняется.
При x = L (вся цепочка соскользнула):
a = g — логично: вся масса “падает свободно”.
✅ Ответ 4:
a = (g/L)·x — ускорение прямо пропорционально длине свесившейся части.
При x = L → a = g.
🧱 Часть 5: Бонус — что, если есть трение?
Пусть коэффициент трения между цепочкой и столом = μ.
Тогда — сила трения действует на часть цепочки, лежащую на столе = L – x.
F_тр = μ·m_стол·g = μ·λ·(L – x)·g
Сила, тянущая вниз: F = λ·x·g
Чистая сила:
F_net = λ·g·[x – μ·(L – x)] = λ·g·[x(1 + μ) – μ·L]
Уравнение движения:
λ·L·a = λ·g·[x(1 + μ) – μ·L]
→ a = (g/L)·[x(1 + μ) – μ·L]
👉 Цепочка начнёт двигаться, только если F > F_тр → x > μ·L / (1 + μ)
Если x₀ < этого значения — цепочка не сдвинется.
✅ Ответ 5:
При наличии трения:
— Появляется пороговое значение x, ниже которого цепочка не движется,
— Ускорение: a = (g/L)·[x(1 + μ) – μ·L]
— Движение возможно только при x > μ·L / (1 + μ)
📊 Сводная таблица:
1. Почему движется?
Сила тяжести на свесившейся части: F = λ·x·g
2. Уравнение движения?
a = (g/L)·x — масса всей цепочки постоянна, движется как единое целое.
3. Скорость v(x)?
v = √[ (g/L)·(x² – x₀²) ]
4. Ускорение a(x)?
a = (g/L)·x— растёт линейно с x. При x=L → a=g.
5. С трением?
a = (g/L)·[x(1+μ) – μ·L], движение только при x > μ·L/(1+μ)
😄 Как объяснить это другу?
«Представь, что цепочка — это команда бегунов, связанных верёвкой.
Несколько человек уже сбежали с обрыва — и тянут остальных.
Чем больше “сбежавших” — тем сильнее тянут → вся команда разгоняется.
А когда все сорвались — летят, как в прыжке с парашютом.
Если есть трение — как будто кто-то на столе “цепляется” — нужно, чтобы “сбежавших” было достаточно, чтобы их “оторвать”.
Физика говорит: “Хочешь разогнать цепочку — дай ей свеситься 😉”»
🎓 Почему это важно?
Эта задача — прекрасный пример:
- движения систем с распределённой массой,
- использования F = ma даже при “кажущейся” переменной массе,
- решения дифференциальных уравнений через разделение переменных,
- и того, почему “интуитивно кажется, что сложнее” — но на деле — красиво и просто.
А пока — возьмите цепочку.
Свесьте её с края.
Отпустите.
И наблюдайте — как математика превращается в движение. ⛓️⚡