Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №15 — одно из самых сложных в экзамене, но абсолютно решаемых при правильном подходе. Это задание проверяет ваше умение работать с различными типами неравенств и системами. Давайте разберем все по полочкам.
Типы неравенств в задании №15
1. Системы линейных и квадратных неравенств
Алгоритм решения:
1. Решите каждое неравенство системы отдельно
2. Найдите пересечение решений всех неравенств
3. Изобразите решение на числовой прямой
Пример:
{ 2x - 3 > 5
{ x² - 4x + 3 ≤ 0
Решение:
1. 2x - 3 > 5 → 2x > 8 → x > 4
2. x² - 4x + 3 ≤ 0 → (x-1)(x-3) ≤ 0 → x ∈ [1; 3]
3. Пересечение: ∅ (решений нет)
2. Рациональные неравенства (метод интервалов)
Особенности: Неравенства содержат дроби
Алгоритм решения:
1. Перенести все в левую часть
2. Привести к общему знаменателю
3. Найти нули числителя и знаменателя
4. Отметить их на числовой прямой (точки из знаменателя — выколотые)
5. Определить знаки на интервалах
6. Выбрать нужные интервалы
Пример: (x-2)/(x+3) ≥ 0
Нули: x = 2 (числитель), x = -3 (знаменатель, выколотая)
Интервалы: (-∞; -3), (-3; 2], [2; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ [2; +∞)
3. Неравенства с модулем
Основные методы:
1. Раскрытие модуля по определению
2. Возведение в квадрат (если обе части неотрицательны)
3. Геометрическая интерпретация
Пример: |2x - 3| < 5
Решение: -5< 2x - 3 < 5 -2< 2x < 8 -1< x < 4
Ответ: x ∈ (-1; 4)
Метод интервалов для рациональных дробей
Пошаговая инструкция:
1. Привести неравенство к виду P(x)/Q(x) ⋄ 0 (⋄ — знак сравнения)
2. Найти нули числителя и знаменателя
3. Отметить на числовой прямой (нули знаменателя — выколотые)
4. Определить знаки на интервалах
5. Выбрать интервалы согласно знаку неравенства
Раскрытие модуля по определению
Определение: |a| = { a, если a ≥ 0; -a, если a < 0 }
Алгоритм:
1. Найти точки, где выражение под модулем равно нулю
2. Разбить числовую прямую на интервалы
3. На каждом интервале раскрыть модуль с соответствующим знаком
4. Решить полученные неравенства
5. Объединить решения с учетом области раскрытия
Отбор решений и запись ответа
Важные правила:
· Для строгих неравенств (<, >) используйте круглые скобки
· Для нестрогих неравенств (≤, ≥) используйте квадратные скобки
· Бесконечность всегда с круглой скобкой
· Множество решений системы — пересечение решений
· Множество решений совокупности — объединение решений
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Неверное раскрытие модуля:
· Неправильное определение знака на интервалах
· Потеря решений при переходе между интервалами
2. Ошибки в методе интервалов:
· Неучет выколотых точек (нули знаменателя)
· Неверное определение знаков на интервалах
3. Неверное пересечение решений в системах:
· Путаница с объединением и пересечением
· Неправильное изображение на числовой прямой
4. Арифметические ошибки:
· Неверное решение составных неравенств
· Ошибки в преобразованиях
5. Невнимательность к области определения:
· Неучет ограничений (знаменатель ≠ 0)
· Потеря решений при возведении в квадрат
Практика: Разбор заданий типа №15
Задание 1. Решите систему неравенств:
{ x² - 5x + 6 < 0
{ 2x + 1 ≥ 0
Решение:
1. x² - 5x + 6 < 0 → (x-2)(x-3) < 0 → x ∈ (2; 3)
2. 2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -0.5
3. Пересечение: x ∈ (2; 3)
Ответ: (2; 3)
Задание 2. Решите неравенство:
(x² - 4)/(x - 1) ≥ 0
Решение:
1. Нули числителя: x = -2, x = 2
2. Нуль знаменателя: x = 1 (выколотая)
3. Интервалы: (-∞; -2], [-2; 1), (1; 2], [2; +∞)
4. Расставляем знаки:
· x < -2: (+)/(-) = (-) — не подходит
· -2 < x < 1: (-)/(-) = (+) — подходит
· 1 < x < 2: (-)/(+) = (-) — не подходит
· x > 2: (+)/(+) = (+) — подходит
Ответ: x ∈ [-2; 1) ∪ [2; +∞)
Задание 3. Решите неравенство:
|2x - 1| > |x + 3|
Решение:
1. Возводим в квадрат обе части: (2x- 1)² > (x + 3)² 4x²- 4x + 1 > x² + 6x + 9 3x²- 10x - 8 > 0
2. Решаем квадратное неравенство: D= 100 + 96 = 196 x= (10 ± 14)/6 x₁= 4, x₂ = -2/3
3. Решение: x ∈ (-∞; -2/3) ∪ (4; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; -2/3) ∪ (4; +∞)
Задание 4. Решите систему:
{ |x - 2| ≤ 3
{ x² - 3x - 4 > 0
Решение:
1. |x - 2| ≤ 3 → -3 ≤ x - 2 ≤ 3 → -1 ≤ x ≤ 5
2. x² - 3x - 4 > 0 → (x-4)(x+1) > 0 → x ∈ (-∞; -1) ∪ (4; +∞)
3. Пересечение: x ∈ [-1; 5] ∩ [(-∞; -1) ∪ (4; +∞)] = (4; 5]
Ответ: (4; 5]
Задание 5. Решите неравенство:
(x + 1)²(x - 3)/(x - 2) ≤ 0
Решение:
1. Нули: x = -1 (кратность 2), x = 3
2. Выколотая точка: x = 2
3. Учитываем четность корня (x = -1) — знак не меняется
4. Интервалы: (-∞; -1], [-1; 2), (2; 3], [3; +∞)
5. Расставляем знаки:
· x < -1: (+)*(-)/(-) = (+) — не подходит
· -1 < x < 2: (+)*(-)/(-) = (+) — не подходит
· 2 < x < 3: (+)*(-)/(+) = (-) — подходит
· x > 3: (+)*(+)/(+) = (+) — не подходит
Ответ: x ∈ (2; 3]
Полезные советы для решения задания №15
1. Внимательно читайте условие — определите тип неравенства
2. Действуйте поэтапно — не пытайтесь решить все сразу
3. Всегда проверяйте полученные решения
4. Используйте числовую прямую для наглядности
5. Помните об области определения — исключайте точки, где выражение не имеет смысла
6. Тренируйтесь на задачах разного уровня сложности
Задание №15 требует системного подхода и внимательности. Ключ к успеху — понимание методов решения каждого типа неравенств и умение избегать типичных ошибок.
Основные моменты:
· Для систем находите пересечение решений
· Для дробно-рациональных неравенств используйте метод интервалов
· Для модулей аккуратно раскрывайте знаки
· Всегда проверяйте область определения
Регулярная практика решения задач разного типа поможет вам уверенно справиться с заданием №15 на ОГЭ. Удачи в подготовке!