Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №14 — преобразование алгебраических выражений. Это задание проверяет ваше умение работать с формулами, упрощать выражения и корректно выполнять подстановку значений. Давайте разберемся, как подходить к таким задачам системно и избегать ошибок.
Ключевые темы задания №14
1. Рациональные выражения
Приведение к общему знаменателю:
· Найдите НОК знаменателей
· Определите дополнительные множители для каждой дроби
· Приведите дроби к общему знаменателю
Пример:
2/(x-3) + 3/(x+2) = [2(x+2) + 3(x-3)] / [(x-3)(x+2)]
Сокращение дробей:
· Разложите числитель и знаменатель на множители
· Сократите общие множители
Пример:
(x² - 9)/(x² + 6x + 9) = [(x-3)(x+3)]/[(x+3)²] = (x-3)/(x+3)
2. Действия с многочленами
Умножение многочленов:
· Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго
· Приводите подобные слагаемые
Пример:
(2x + 3)(x - 4) = 2x⋅x + 2x⋅(-4) + 3⋅x + 3⋅(-4) = 2x² - 8x + 3x - 12 = 2x² - 5x - 12
Формулы сокращенного умножения:
· (a + b)² = a² + 2ab + b²
· (a - b)² = a² - 2ab + b²
· (a - b)(a + b) = a² - b²
· (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
· (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
3. Подстановка значений и вычисление
Алгоритм:
1. Упростите выражение
2. Подставьте числовые значения
3. Выполните вычисления
Важно: Если выражение содержит дроби, убедитесь, что знаменатель не равен нулю при подстановке
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Ошибки в знаках: Частая ошибка при раскрытии скобок с отрицательными числами
· Неправильно: -(x - 2) = -x - 2
· Правильно: -(x - 2) = -x + 2
2. Потеря множителей при сокращении:
· Неправильно: (2x + 4)/2 = x + 4
· Правильно: (2x + 4)/2 = x + 2
3. Арифметические ошибки при подстановке:
· Неверное вычисление степеней
· Ошибки в действиях с дробями
4. Невнимательность к области определения:
· Подстановка значений, при которых знаменатель равен нулю
5. Неполное упрощение: Оставление выражения в не до конца упрощенном виде
Практика: Разбор заданий типа №14
Задание 1. Упростите выражение и найдите его значение при a = 0,5:
(a/(a² - 4) - 1/(a² + 2a)) ÷ (a² + 4)/(a² + 4a + 4)
Решение:
1. Разложим знаменатели на множители:
· a² - 4 = (a-2)(a+2)
· a² + 2a = a(a+2)
· a² + 4a + 4 = (a+2)²
2. Приведем к общему знаменателю в числителе:
a/((a-2)(a+2)) - 1/(a(a+2)) = [a² - (a-2)] / [a(a-2)(a+2)] = (a² - a + 2) / [a(a-2)(a+2)]
1. Деление заменим умножением на обратную дробь:
(a² - a + 2)/[a(a-2)(a+2)] × (a+2)²/(a²+4)
1. Сократим (a+2):
(a² - a + 2)(a+2) / [a(a-2)(a²+4)]
1. Подставим a = 0,5:
((0,25 - 0,5 + 2)(0,5+2)) / [0,5(0,5-2)(0,25+4)] = (1,75 × 2,5) / [0,5 × (-1,5) × 4,25]
= 4,375 / [-3,1875] = -1,3725...
Ответ: -1,3725 (или -43/32)
Задание 2. Упростите выражение:
(3x/(x-2) + 4x/(x+2)) × (x²-4)/(7x²+4x)
Решение:
1. Приведем к общему знаменателю в первой скобке:
[3x(x+2) + 4x(x-2)] / [(x-2)(x+2)] = [3x²+6x+4x²-8x] / (x²-4) = (7x² - 2x)/(x²-4)
1. Умножим на вторую дробь:
(7x²-2x)/(x²-4) × (x²-4)/(7x²+4x) = (7x²-2x)/(7x²+4x)
1. Разложим на множители:
x(7x-2) / [x(7x+4)] = (7x-2)/(7x+4)
Ответ: (7x-2)/(7x+4)
Задание 3. Найдите значение выражения:
(√a + √b)/(a-b) - 1/(√a - √b) при a = 16, b = 9
Решение:
1. Упростим выражение:
(√a+√b)/(a-b) - 1/(√a-√b) = [(√a+√b) - (√a+√b)]/(a-b) = 0/(a-b) = 0
1. Подставляем любые значения a и b (кроме a = b):
При a = 16, b = 9: 0
Ответ: 0
Задание 4. Упростите выражение:
((x+3)/(x²-3x) - (x-3)/(x²+3x)) ÷ (x²+9)/(x²-9)
Решение:
1. Разложим знаменатели на множители:
· x²-3x = x(x-3)
· x²+3x = x(x+3)
· x²-9 = (x-3)(x+3)
2. Приведем к общему знаменателю в числителе:
[(x+3)² - (x-3)²] / [x(x-3)(x+3)] = [x²+6x+9 - (x²-6x+9)] / [x(x²-9)] = 12x/[x(x²-9)]
1. Сократим x:
12/(x²-9)
1. Деление заменим умножением:
12/(x²-9) × (x²-9)/(x²+9) = 12/(x²+9)
Ответ: 12/(x²+9)
Полезные советы для решения задания №14
1. Действуйте поэтапно: Не пытайтесь сделать все преобразования за один шаг
2. Разлагайте на множители: Это поможет в сокращении дробей
3. Внимательно работайте со знаками: Особенно с отрицательными числами
4. Проверяйте область определения: Убедитесь, что знаменатели не обращаются в ноль
5. Всегда упрощайте до конца: Ответ должен быть в максимально простом виде
6. Делайте проверку: Подставьте значения в исходное и преобразованное выражение
Задание №14 требует внимательности и знания основных алгебраических преобразований. Ключ к успеху — много практики и понимание, а не заучивание алгоритмов.
Запомните основные шаги:
1. Разложите на множители
2. Приведите к общему знаменателю
3. Сократите общие множители
4. Упростите выражение
5. Выполните подстановку
6. Проверьте ответ
Регулярно тренируйтесь в преобразовании выражений, и задание №14 на ОГЭ не вызовет у вас трудностей. Удачи в подготовке!